2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 13:37 


31/05/15
8
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, решить задачу по дифференциальной геометрии:
На плоскости Лобачевского выразить радиус описанной окружности через стороны.

Пыталась делать с помощью теоремы косинусов, но в итоге получаются совсем ненужные углы, от которых я не могу избавиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Речь о треугольниках? Где-то нужны слова "если такая окружность существует".

TDnepr в сообщении #1021831 писал(а):
Пыталась делать с помощью теоремы косинусов, но в итоге получаются совсем ненужные углы, от которых я не могу избавиться.
Показывайте. Вообще, кроме теоремы косинусов есть теорема синусов. Она в некотором смысле перегоняет углы в стороны, и наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 18:15 


31/05/15
8
Nemiroff

Пыталась применить теорему косинусов к треугольникам, сторонами которых являются 2 радиуса описанной окружности и одна из сторон треугольника, тогда в формуле получается ненужный угол этого треугольника, который находится в точке пересечения радиусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
Вы выкладки и чертежи показывайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
TDnepr в сообщении #1021920 писал(а):
Пыталась применить теорему косинусов к треугольникам, сторонами которых являются 2 радиуса описанной окружности и одна из сторон треугольника, тогда в формуле получается ненужный угол этого треугольника, который находится в точке пересечения радиусов.
Неплохо. Только таких вот треугольников три штуки --- по одному на каждую сторону изначального треугольника. Вот и подумайте.

И все ещё: почему описанная окружность вообще существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 18:55 


31/05/15
8
Изображение

Описанная окружность вроде не всегда существует в модели верхней полуплоскости, а я пытаюсь в модели Пуанкаре делать. И мне нужен именно тот случай, когда она существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
Nemiroff в сообщении #1021932 писал(а):
И все ещё: почему описанная окружность вообще существует?

А почему ей не существовать, не понимаю? (От модели это не зависит, кстати.)

-- 31.05.2015 19:11:40 --

А... Не... Кажется, понимаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 19:14 


31/05/15
8
Изображение


б) Это доказательство того, что не вокруг любого треугольника можно описать окружность на плоскости Лобачевского

-- 31.05.2015, 19:18 --

Да, но я не знаю, что делать дальше, ведь сумма углов в треугольнике меньше $\pi$ и я не могу толком никакие известные соотношения написать

Наверное надо как-то по-другому начинать решать, но идей у меня пока нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
Попробуйте решить эту задачу на евклидовой плоскости. Потом замените теоремы соответствующими им теоремами на плоскости Лобачевского.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 20:08 


31/05/15
8
Munin
Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$ но я не знаю, останется он таким же в этом случае, если да, то я знаю, как выразить площадь треугольника на плоскости Лобачевского, и тогда задача будет решена

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Munin в сообщении #1021936 писал(а):
А почему ей не существовать, не понимаю?
Три точки не обязательно лежат на прямой или окружности. Они могут лежать на гиперцикле (эквидистанте) или орицикле. Вот если модель Пуанкаре в диске взять: Вот евклидовы прямые и окружности, которые пересекаются с нашим гиперболическим миром, ограниченным абсолютом (окружностью). Все прямые, содержащие диаметры абсолюта, и все окружности, пересекающие абсолют под прямым углом, дают все гиперболические прямые, все окружности, целиком лежащие внутри абсолюта, дают все гиперболические окружности, все окружности, пересекающие абсолют под углом, отличным от прямого, и все прямые, содержащие хорды абсолюта, отличные от диаметра, дают все гиперциклы, все окружности, внутренним образом касающиеся абсолюта, дают все орициклы.

TDnepr в сообщении #1021939 писал(а):
Наверное надо как-то по-другому начинать решать, но идей у меня пока нет
Можно прежде всего попытаться понять, когда вообще три точки лежат на окружностию

-- Вс май 31, 2015 20:53:05 --

TDnepr в сообщении #1021965 писал(а):
Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$ но я не знаю, останется он таким же в этом случае
Нет конечно. Я даже конечный ответ могу подсказать.

Вот так для евклидовой: пусть $A=a/2$, $B=b/2$, $C=c/2$, $$R = \frac{2ABC}{\sqrt{(A+B+C)(B+C-A)(A+B-C)(A-B+C)}},$$
а в неевклидовой сюда навешивают шинусы, а на радиус даже и гиперболический тангенс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
68273
TDnepr в сообщении #1021965 писал(а):
Радиус описанной окружности на евклидовой плоскости равен $\frac{abc}{4S}$

Вопрос не в формуле, а как её получить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 21:48 


31/05/15
8
Nemiroff в сообщении #1021985 писал(а):
Нет конечно. Я даже конечный ответ могу подсказать.


Конечный ответ к задаче в плоскости Лобачевского?
Подскажите, пожалуйста)

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3892
МФТИ ФУПМ
Я же подсказал.
Вы знаете, как доказывается формула $R = \frac{2ABC}{\sqrt{(A+B+C)(B+C-A)(A+B-C)(A-B+C)}}$ для евклидовой геометрии? Если нет, то узнайте, если да, то примените такое же доказательство к геометрии Лобачевского.
Ответ будет почти такой же, только на каждом множителе будет висеть шинус. А слева штангенс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоскость Лобачевского
Сообщение31.05.2015, 21:57 


31/05/15
8
Nemiroff
Ааа понятно. Спасибо большое! Сейчас попробую разобраться.

-- 31.05.2015, 22:29 --

Nemiroff
Я разобрала вывод формулы, но там используется теорема синусов, которая в евклидовой геометрии содержит радиус описанной окружности, а в случае плоскости Лобачевского, я формулы с радиусом не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group