Лемма о факторизации: возможно, окажется сложнее

[ProPupil]

Вот эта задачка. Надеюсь, она будет красива сразу по нескольким направлениям. Все пространства предполагаются вещественными.

Пусть $X$ - банахово пространство, и $R \in \mathcal L(X,X^\ast)$ - оператор, удовлетворяющий условию

$$\langle Rx_1, x_2\rangle = \langle Rx_2,x_1\rangle \, \forall x_1,x_2 \in X.$$

Доказать, что существует такое гильбертово пространство $H$ и такой оператор $A \in \mathcal L(X,H)$, что $R = A^\ast A$ и $A(X)$ всюду плотно в $H$

Оператор$A^\ast$ определяется здесь как такой оператор $A^\ast: H^\ast \to X^\ast$, что $\langle y^\ast, Ax \rangle = \langle A^\ast y^\ast, x\rangle \, \forall x \in X, y^\ast \in Y^\ast $

Задача корректно поставлена, т. к. гильбертово пространство изоморфно своему сопряжённому.

[g______d]

А это верно, если $X$ гильбертово? Без предположения о положительности $R$?

[ProPupil]

Так и думал, что чего-то не хватало. Положительность оператора, конечно же, требуется. Оператор из условия задачи дополнительно удовлетворяет условию $\langle Rx,x\rangle \geq 0 \, \forall x \in X$