Красивая задача: Сильной гладкости почти нет

[ProPupil]

Доказать, что множество тех функций $f \in C[0,1]$, для которых величина $\varlimsup\limits_{h \to 0+0} \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|$ ограничена хотя бы в одной точке $x \in [0,1)$, образует множество первой категории в $C[0,1]$, т. е. оно представимо в виде счётного объединения нигде не плотных в $C[0,1]$ множеств.

На мой взгляд, достаточно красивая задача.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\{x_n\}$ -- счетное плотное подмножество $[0,1]$. Для каждого $x_n\le 1-1/j$ определим множества

$$F_{k,j,n}=\Big\{f\in C[0,1]:\sup_{0<h\le 1/j}\Big|\frac{f(x_n+h)-f(x_n)}{h}\Big|\le k \Big\},\quad k,j,n\in\mathbb{N}$$

Эти множества замкнуты и не содержат внутренних точек. Множество из условия задачи содержится в объединении множеств $F_{k,j,n}$

[ProPupil]

Да, действительно. Всё верно. Задача красивая, но слишком лёгкая)