Вопрос, связанный с интегралами

[anton72]

Вычисляя интеграл, столкнулся с необходимостью применения признака Дирихле и возник вопрос - Верно ли, что $\sin(\frac{\cos x^3}{x+1})$ имеет ограниченную первообразную? Знаю, что обычный синус имеет, а такая функция - не знаю. Подскажите, пожалуйста

[ewert]

Уберите куб заменой.

[anton72]

Точно, спасибо
Еще такой вопрос
Если $\lim f(x) = +\infty, g (x)-имеет ограниченную первообразную - можно сказать что по признаку Дирихле интеграл расходиться?

[NSKuber]

anton72 в сообщении #1021424 писал(а):

Если $\lim f(x) = +\infty, g (x)-имеет ограниченную первообразную - можно сказать что по признаку Дирихле интеграл расходиться?

Конечно нет, $g(x)$ может забивать стремящуюся к бесконечности $f(x)$. Например, на $[1, +\infty)$: $f(x)=x$, $g(x)=\frac{1}{x^3}$.

[ewert]

Дело даже не в забитии, а в том, что на Дирихле нельзя ссылаться просто по формальным причинам: это -- достаточное условие сходимости и, соответственно, про расходимость не может говорить ровным счётом ничего.

[anton72]

Тогда как исследовать на условную сходимость?$\int\limits_{0}^{\infty} x^2 \sin (\frac{\cos x^3}{x+1})$

[ИСН]

Так же, как всегда. Попробуйте доказать, что сходится. Потом попробуйте доказать, что расходится.

[anton72]

Можно немного подробнее. Я уже все нормальные признауи проверил

[ex-math]

Посмотрите, что происходит с аргументом синуса при больших $x$.