2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 21:45 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Рассматриваются линейно упорядоченные по включению множества подпространств линейного пространства $L$. Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?
Для вполне упорядоченных множеств, вроде бы, это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 22:04 


10/02/11
6786
ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
линейно упорядоченные

ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
вполне упорядоченных


pardon, за наверное групый вопрос, а в чем разница?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение29.05.2015, 22:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Например, целые числа (с естественным порядком) линейно упорядочены, но не вполне упорядочены. Вполне упорядоченность требует ещё и наличие наименьшего элемента в любом непустом подмножестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

Думаю, что Oleg Zubelevich имел в виду данный конкретный случай. Он не похож на человека, не знающего разницы между линейным и полным порядком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 02:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

А-а-а. Я почему-то подумал, что вполне упорядоченные сравниваются с линейными пространствами. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение30.05.2015, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
ivvan в сообщении #1021269 писал(а):
Будет ли мощность любого максимального такого множества равна (алгебраической) размерности пространства $L$?


Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$. Проще говоря, дедекиндовы сечения. Там будет континуум подпространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:12 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
g______d в сообщении #1021401 писал(а):
Возьмите любое пространство со счетным базисом Гамеля (они все изоморфны), пронумеруйте рациональными числами и рассмотрите цепочку подпространств, являщихся линейными оболочками интервалов $(-\infty,a]\cap\mathbb Q$, где $a\in \mathbb R$.
Чтобы получить максимальную цепочку, нужно добавить оболочку векторов из $(-\infty,a)\cap\mathbb Q$, я правильно понимаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Да, такие тоже надо добавить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение31.05.2015, 20:25 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Возьмём по вектору из всех непустых множеств $U_\alpha\setminus\bigcup_{U_\beta\subset U_\alpha}U_\beta$. Полученная система линейно независима. Будет ли она составлять базис?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение05.06.2015, 16:27 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
ivvan в сообщении #1021978 писал(а):
Будет ли она составлять базис?
Не знаю, как разрешить этот вопрос. Стоит ли задать его на StackExchange?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение06.06.2015, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
ivvan в сообщении #1021978 писал(а):
Будет ли она составлять базис?


Опять, возьмем пространство со счетным базисом Гамеля $\{e_n\}_{n\in \mathbb Z}$, и пусть $U_n$ — линейная оболочка $\{e_k\}_{k\le n}$. В качестве векторов возьмем $e_n+e_{n-1}\in U_n\setminus U_{n-1}$. Будет ли это набор векторов базисом? Мне кажется, что нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение06.06.2015, 16:19 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Да, всё верно. А я уже поспешил задать вопрос в другом месте.
g______d, я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться? Или вы сами напишете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение07.06.2015, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
ivvan в сообщении #1023996 писал(а):
я могу попробовать перевести ваш ответ и опубликовать? Как можно сослаться?


Можете просто написать "на форуме dxdy.ru было предложено такое-то решение".

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочка подпространств
Сообщение16.06.2015, 20:13 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Рассмотрим для линейного пространства $L$ с базисом $\{e_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{R}}$ цепочку $\dots\subset L_{n-1}\subset L_n\subset L_{n+1}\subset\dots$, где $L_n=\operatorname{Sp}(\{e_\alpha\}_{\alpha<n+1}\cup\{e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n-1}\alpha^ke_{[\alpha]-k}\}_{\alpha>n+1,\alpha\notin\mathbb{Z}})$.
Если $v=\sum v_{\alpha_i} e_{\alpha_i}\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{Z}}L_n$, то $v_{m-k}=\sum\limits_{\alpha_i\notin\mathbb{Z}}\alpha_i^{[\alpha_i]-m+k} v_{\alpha_i}=0, k\in\mathbb{N}$, где $m=\min\{[\alpha_i]\}$. Полученные уравнения составляют систему относительно $v_{\alpha_i},\alpha_i\notin\mathbb{Z}$, не имеющую ненулевого решения. Поэтому $v=\sum v_{n_j}e_{n_j}, n_j\in\mathbb{Z}$. Но т.к. $v\in L_{m-1}$, то и $v_{n_j}=0$. Таким образом, $\bigcap L_n={0}$.
Равенство $\bigcup L_n=L$ очевидно.
Если $L_{n-1}\subset M\subseteq L_n$, то для произвольного $v\in M\setminus L_{n-1}$ будет $v=\sum\limits_\alpha v_\alpha e_\alpha$, где $v_k=\sum\limits_{\alpha>k,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-k}v_\alpha, k>n$ и $v_n\neq\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha$, и тогда $$e_n=(v_n-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}\alpha^{[\alpha]-n}v_\alpha)^{-1}(v-\sum\limits_{\alpha<n}v_\alpha e_\alpha-\sum\limits_{\alpha>n,\alpha\notin\mathbb{Z}}v_\alpha(e_\alpha+\sum\limits_{k=0}^{[\alpha]-n}\alpha^ke_{[\alpha]-k}))\in M,$$ откуда $L_n\subseteq M$.
Таким образом, расссмотренная цепочка максимальна, причем $|\{L_n\setminus L_{n-1}\}|\neq \operatorname{dim}L$.

Верны ли рассуждения выше?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group