Рекуррентное соотношение

[WingerV]

Последовательность задана рекуррентным соотношением:
$x_0 = 0, x_1 = 1, x_{n+1} = \frac{x_n + nx_{n-1}}{n + 1}$
Покажите, что данная последовательность сходится, и найдите её предел.

Помогите, пожалуйста, решить. Стандартные методы не применимы, как подступиться к данной задаче не знаю.

[provincialka]

Что есть "стандартные методы"? Какие вы применяли?
Представляете ли вы интуитивно, как ведет себя ваша последовательность?

(Оффтоп)

сводится к ряду

[WingerV]

Под стандартными методами я понимаю эти: http://www.genfunc.ru/theory/rsol/
Как ведет себя последовательность понять не могу. Все, что сделал, привел к виду
$\frac{x_n-x_{n-1}}{n+1} + x_{n-1}$
выписал первые члены, ничего не дало.

[provincialka]

Нет, тут не получится выписать формулу для общего члена. Только предел.

Заданная формула -- это среднее взвешенное между $x_n$ и $x_{n-1}$, причем чем больше $n$, тем ближе оно к $x_{n-1}$. То есть оно "мотается из стороны в сторону" между 0 и 1, но колебания затухают...

Не хотелось бы давать слишком конкретную подсказку... Вы поняли насчет ряда?

[Lia]

WingerV в сообщении #1021256 писал(а):

Под стандартными методами я понимаю эти: http://www.genfunc.ru/theory/rsol/

Этого более чем достаточно. Здесь можно и обойтись, но аппарат производящих функций настолько универсален, что им можно убить что угодно, а не говорить, что "стандартные методы не применимы".

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.