Здравствуйте, помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи:
Пусть

возрастающая функция при

. Постройте такую целую функцию

, что бы при всех

выполнялось неравенство

.
Я подумал, что логично построить аналитичную на полуоси функцию

, такую что

. А потом продолжить её на всю комплексную плоскость. Можно было бы сделать так:

- возрастающая в окрестности бесконечности следовательно найдется точка

, что

будет возрастающей на

. Там её можно было бы ограничить функцией

. На оставшемся куске можно было бы ограничить

функцией
![$f_2(x)=\sup\limits_{x\in[0,x_0]}|g(x)|$ $f_2(x)=\sup\limits_{x\in[0,x_0]}|g(x)|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/3/b4384137e94e01a8e9ea8fe7e54506ab82.png)
. В итоге взять

.
Но возникают следующие проблемы:
1.

является монотонной в окрестности бесконечности, следовательно почти всюду дифференцируемой, а значит могут найтись точки в которых

не является дифференцируемой(в общем случае). Следовательно и композиция

не будет дифференцируема.
2. на куске
![$[0, x_0]$ $[0, x_0]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bd788b35784bfb64b48b7e60fe1e75f82.png)
, g - может быть неограниченна, значит супремум может не существовать.
Наверное, можно как-то по другому.