Разложение несобственого интеграла в ряд Тейлора

[communist38]

Здравствуйте. Ничего подобного на форумах не нашел, и вообще, в сети не нашел.
Требуется вычислить интеграл

$$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt {x^3+1}}$$

с точностью $10^5$ , разложив его в ряд Тейлора.
Что я пробовал:
Разложить саму функцию и проинтегрировать ее.
Получалось следующие

$$\int\limits_{1}^{\infty}{(1-\frac{0.5x^3}{1}+\frac{0.75x^6}{2}+...+\frac{\prod\limits_{k=0}^{n}{(-0.5-k)}}{n!}x^{3n})dx}$$

Но как вычислить $\infty-\infty+\infty...$? Получается не определенность.
Затем я пробовал преобразовать данный интеграл в 2 собственных интеграла используя обратные функции.

$$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt {x^3+1}}$$

преобразовал в разность

$$\int\limits_{0}^{1}(x^{-\frac{2}{3}}\sqrt[3]{1-x^2})dx$$

и

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt {x^3+1}}$$

Однако первый ряд получается знакопостоянный и оценить его точность затруднительно.

$$\int\limits_{0}^{1}(x^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{3}x^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{9}x^{\frac{16}{3}}-...-\frac{1}{n!}\prod\limits_{k=0}^{n}(\frac{1}{3}-k)x^{2n-\frac{2}{3}})dx$$

Построить мажорирующий ряд тоже не получается.

[Brukvalub]

А если скомбинировать обе идеи? Сначала отрезать интегралу маленький "хвост", а потом оставшийся определенный интеграл заменить разложением и правильно отбросить хвост ряда?

[Pphantom]

Идея с обратной функцией была правильной, ее просто нужно немного "причесать" - сделав еще одну очевидную замену.

[communist38]

Pphantom в сообщении #1020650 писал(а):

Идея с обратной функцией была правильной, ее просто нужно немного "причесать" - сделав еще одну очевидную замену.

Проблема не с функцией, её довольно легко вычислить. Проблема с точностью. Я не могу вычислить второй ряд с определенной точностью. Конечно же я могу сосчитать 20-30 первыйх членов уповая на то, что нужная точность будет достигнута, но это не вариант.

[Pphantom]

communist38 в сообщении #1020657 писал(а):

Проблема не с функцией, её довольно легко вычислить. Проблема с точностью. Я не могу вычислить второй ряд с определенной точностью.

А это и не понадобится. Вместо двух интегралов, к которым Вы пришли, можно легко получить один, причем похожий на второй. Соответственно, получится знакопеременный ряд, причем довольно приятный и в других отношениях.

[communist38]

Pphantom в сообщении #1020660 писал(а):

communist38 в сообщении #1020657 писал(а):

А это и не понадобится. Вместо двух интегралов, к которым Вы пришли, можно легко получить один, причем похожий на второй. Соответственно, получится знакопеременный ряд, причем довольно приятный и в других отношениях.

Пока приходит на ум только перейти к двойным и вычислить с помощью геометрических преобразований.

[Pphantom]

communist38 в сообщении #1020665 писал(а):

Пока приходит на ум только перейти к двойным и вычислить с помощью геометрических преобразований.

Ну, больше ничего я написать не могу. Все настолько просто, что дальше остается просто написать нужную замену.

[Евгений Машеров]

А заменить на что-то вроде $y=x^{-\frac 1 2}$?

[communist38]

Евгений Машеров в сообщении #1020680 писал(а):

А заменить на что-то вроде $y=x^{-\frac 1 2}$?

Что именно заменить на у?
Провести замену в интеграле

$$\int\limits_{}^{}x^{-\frac{2}{3}}\sqrt[3]{1-x^2}dx$$

?

[provincialka]

communist38 в сообщении #1020689 писал(а):

Что именно заменить на у? Какую функцию или переменную?

Хм... А разве в интегралах заменяют какие-то "функции"? Замена переменной, конечно...

-- 28.05.2015, 12:38 --

Напрашивается идея раскладывать по степеням $\frac 1x$ ...

[Pphantom]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1020680 писал(а):

А заменить на что-то вроде $y=x^{-\frac 1 2}$?

Ну вот, пришел порутчик...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1020704 писал(а):

[off]

Евгений Машеров в сообщении #1020680 писал(а):

А заменить на что-то вроде $y=x^{-\frac 1 2}$?

Ну вот, пришел порутчик...

(Оффтоп)

Не поручик, а прапорщик! Прапорщик Ясненько, старшина роты капитана Очевидность!

[ewert]

provincialka в сообщении #1020690 писал(а):

Напрашивается идея раскладывать по степеням $\frac 1x$ ...

Она не просто напрашивается -- она стандартна. Только сходимость будет очень уж медленная: как $\frac1{\sqrt{n^3}}$, слагаемых так 700 с чем-то понадобится. Ну разве что эта задачка давалось в рамках курса какой-нибудь информатики, тогда приемлемо.

-- Чт май 28, 2015 15:25:28 --

communist38 в сообщении #1020644 писал(а):

первый ряд получается знакопостоянный и оценить его точность затруднительно.

Оценить как раз очень легко -- по интегральному признаку, и эта оценка будет достаточно точной. Только сходимость окажется на порядок хуже, чем в знакопеременном случае, так что этот путь - тупиковый.

[Someone]

communist38 в сообщении #1020644 писал(а):

с точностью $10^5$

Вероятно, $10^{-5}$?

ewert в сообщении #1020710 писал(а):

слагаемых так 700 с чем-то понадобится

$707$ (я, собственно, сначала это выяснил, а потом увидел ваше сообщение).

Если это предполагается считать не на компьютере, то нужна какая-то более эффективная идея.

[ewert]

Someone в сообщении #1020721 писал(а):

$707$

Ну вообще-то 708.