Вероятность пересечения случайных кругов

[rivx]

У меня есть немного странная задача.

Есть два круглых "поля" определенного радиуса (скажем, $R_1$ и $R_2$), с заданным расстоянием между их центрами ($D$).
В каждом из полей случайным образом выбирается по точке ($p_1$ и $p_2$). Требуется найти вероятность того, что круги
$(p_1,r_1)$ и $(p_2,r_2)$ пересекаются (где $r_1$ и $r_2$ - тоже заданные константы).

Замкнутая формула не нужна, но нужен алгоритм вычисления этой вероятности.

Понятно, что можно один из кругов сжать в точку. Если зафиксировать $p_1$, то вероятность равна площади пересечения круга $(p_1,r_1+r_2)$ со вторым полем (деленной на площадь второго поля). Площадь пересечения кругов с заданными радиусами и расстоянием, при условии, что соответствующие окружности пересекаются, вроде как, равна

$$ r_1^2 \arccos\left(\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2dr_1}\right) + r_2^2 \arccos\left(\frac{d^2+r_2^2-r_1^2}{2dr_2}\right) - \frac{1}{2}\sqrt{(-d+r_1+r_2)(d-r_1+r_2)(d+r_1-r_2)(d+r_1+r_2)}. $$

В случае, когда центры полей совпадают ($d=0$), итоговую вероятность можно посчитать, проинтегрировав (численно) эту формулу по $d$ (не забыв при этом умножить на $2\pi d$). Но если центры различные, то получается двумерный интеграл, который считать на порядок дольше.

Может быть, я что-то упустил, и есть способ сделать это проще?

***
Упс, стоило написать, я догадался, что можно делать ровно то же самое, но умножать не на $2\pi d$, а на соответствующую длину дуги.