Уравнение с факториалами

[rightways]

Найти все такие $a,b,c\in N$ удовлетворяющие
$(2^a-1)(3^b-1)=c!$

[kp9r4d]

Выражение слева не делится на 6.

[Shadow]

kp9r4d в сообщении #1020350 писал(а):

Выражение слева не делится на 6.

Почему?

[iifat]

kp9r4d в сообщении #1020350 писал(а):

Выражение слева не делится на 6

$(2^2-1)(3^1-1)=\dots$?

[kp9r4d]

iifat
Shadow
да, прошу прощения

[iifat]

Хотя общая идея мне нравится. Найти первое число, такое что оно не делит обе скобки.

[Shadow]

Такая занудная идея на доказательство: При $c>8$ решений нет, потому что:

$\nu_3(c!)>\dfrac c 3,\;\nu_2(c!)>\dfrac c 2$

Ясно, что при $c>2,\;a$ должно быть четным, запишем уравнение как $(4^a-1)(3^b-1)=c!$

$4^a\equiv 1 \pmod {3^v}\Rightarrow a\;\vdots\;3^{v-1}$

$3^b\equiv 1 \pmod {2^u}\Rightarrow b\;\vdots\;2^{u-2}$

Но

$(4^{3^{c/ 3-1}}-1)(3^{2^{c/2-2}}-1)>c!$ (надо доказать)


А решения есть при $c=1,2,3,4,5,7$

[Evgenjy]

$a=2,2,4,6$
$b=1,2,2,4$
$c=3,4,5,7$

[Shadow]

Shadow в сообщении #1020439 писал(а):

А решения есть при $c=1,2,3,4,5,7$

При $c=1$, конечно, решений нет.

Evgenjy, еще $a=1,b=1,c=2$