2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функан. Сильная сходимость. Матрица Грама.
Сообщение26.05.2015, 00:36 


13/05/15
46
У меня есть следующая задачка:
a) Пусть $ H $ --- гильбертово пространство, $ T: H \to H $ --- унитарный оператор. Для вектора $ x_0 \in H $, мы предполагаем, что $ x_j: = T^j x_0, j = 0, -1, + 1, -2, + 2 ... $ предположим, что $ \|x_0\| = 1 $ и $ \|<x_0, x_j>\|\le 4^{- | j |} $ для всех $ j = 1, 2, 3 ... $.
Докажите, что для любой последовательности $ a = {(a_j)}_{j =-\infty}^{\infty} \in l^2 $
    
$S(a)=\sum_{j = -\infty}^{\infty} a_j x_j$
    
сильно сходится в $ H $ (т.е. сходится последовательность его частичных сумм от $ -N $ до $ N $), и мы имеем оценку вида
    
$C_1 \|a \|_{l^ 2} \le \|S (a)\|_H \le C_2 \|a\|_{l ^ 2}$
    
    
с некоторыми постоянными $ C_1, C_2 $, не зависящим от $ a \in l^2 $.
    
б) Проверьте, что для достаточно больших $ C> 0 $ оценки из предыдущего пункта будут выполнены для системы функций $x_j(t) = \exp{\left(-\left(t-C\cdot j\right)^2\right)} \in L^2 (\mathbb{R}), t \in \mathbb{R}, j = 0, +1, -1, +2, -2, ... $, однако эта система не будет ортогональной"
    
Я попробовал взять эту сумму и скалярно перемножить с $ x_0 $, но это оказалось не совсем то, что нужно.
Я посмотрел на то, сходится ли это слабо?

$\lim_{N \to \infty}\left<S_N(a),x_0\right> =\|a\|_{l^2} \sum_{j={-N}}^{N}\left<x_j,x_0\right> = \sqrt{2}\left(1+\frac{1}{16} +\cdots+\frac{1}{16^N}\right)^{\frac{1}{2}} \|a\|_{l^2}$

Получается, что слабо сходится. Сильно, это значит по норме. Но по норме, как-то не очень понятно как действовать. $\|S(a)\| \le \|\sum_{j=-N}^{N}T^jx_0\| \|a\|_{l^2}$. А что делать с этой суммой непонятно.
Еще я знаю, что такое матрица Грама. Ну это когда есть какая-то система векторов в пространстве, которая порождает какое-то подпространство. Так вот, матрица Грама, это матрицы элементы которой есть попарно скалярно перемноженные элементы этой системы. Она вылазит из задачи, что если вот в этом подпространстве у меня есть какой-то элемент, и я знаю, чему равны скалярные произведения этого элемента с каждым элементом из системы, хочу найти его разложение.Эта задача однозначно разрешима, тогда и только тогда, когда элементы системы векторов лин. независимы.

Так вот, моя сумма, очень похожа на это разложение, а элементы $x_j$ это система векторов.
Каким образом это можно применить к моей задаче?
Какие еще умные слова нужно знать? Спасибо за то, что прочитали мою задачу и за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2015, 00:43 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- тщательно отредактируйте формулы, уберите оттуда кириллицу,
- скобки у скалярного произведения \langle, \rangle
- приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2015, 15:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Сильная сходимость. Матрица Грама.
Сообщение26.05.2015, 16:17 


13/05/15
46
Да, я тут додумался расписать такую штуку:

$\left \|\sum_{k = -N}^{N} a_k x_k \right \|^2 = \left<\sum_{k = -N}^{N} a_k x_k,\sum_{i = -N}^{N} a_i x_i \right> = 
\left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2 \left<x_k,x_k\right> + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i \left<x_k,x_i\right>\right) = \left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2 \left<x_k,x_k\right> + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i \left<x_0,T^{i-k}x_0\right> \right) \le \left(\sum_{i=k = -N}^{N} a_k^2  + \sum_{i \ne k = -N}^{N} a_k a_i 4^{-|i-k|} \right)$

А дальше надо чего-то смотреть. Только вот чего, я без понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Сильная сходимость. Матрица Грама.
Сообщение26.05.2015, 20:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
$$\left\|\sum\limits_{k=n}^{n+m}a_kx_k\right\|^2=\sum\limits_{k,l=n}^{n+m}a_k\overline a_l(x_k,x_l)\leqslant\sum\limits_{k,l=n}^{n+m}|a_k|\cdot|a_l|\cdot4^{-|k-l|}.$$
Это примерно то, что Вы сделали. Т.е. всё сводится к тому, чтобы доказать равномерную (по размеру $m$) ограниченность $l_2$-нормы матрицы $G_m$ с элементами $g_{kl}=4^{-|k-l|}$. Но дело в том, что она симметрична, поэтому дело сводится к вопросу о её собственных числах. Между тем у неё к тому же ещё и сильное диагональное преобладание и, следовательно, собственное число не может быть нулём (тем более отрицательным) -- соответствующая система на собственный вектор окажется невырожденной. И положительное число, если оно достаточно большое, тоже собственным быть не может: снова появится диагональное преобладание, только с другой стороны. Вот Вам и равномерная оценка на норму $G_m$, а с ней и всё остальное.

А, да, там ещё оценка снизу нужна. Ну снизу тоже через преобладание. Короче, гарантировано $C_1=\sqrt{\frac13}$ и $C_2=\sqrt{\frac53}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group