Имеет ли уравнение натуральные корни?

[serval]

Имеет ли следующее уравнение натуральные корни?

$3ax^2+3a^2x+a^3-b^3=0$

[nnosipov]

Любой ответ будет правильным, потому что вопрос плохо поставлен. Поработайте над вопросом.

[serval]

Решив это уравнение относительно $x$ получим

$x_{1,2}=\frac{1}{6}\frac{-3a^2 \pm \sqrt{12ay^3-3a^4}}{a}$

Будут ли среди значений $x$ натуральные?

[nnosipov]

Опять плохо. Какой-то левый $y$ появился. Главное: что за числа эти исходные $a$ и $b$? Ответ зависит от того, предполагаются ли они целыми или нет. И в любом случае ответ очевиден.

[serval]

Сильно извиняюсь, виноват. Просто положите $y=b$.
Никаких условий на $a$ и $b$ нет.
Пожалуйста, просто озвучьте очевидный Вам ответ.

[svv]

Вы в самом деле не предполагаете, что $a$ и $b$ целые? Тогда возьмите произвольное вещественное $a$ и натуральное $x$, вычислите соответствующее $b$:
$\begin{array}{l}b^3=3ax^2+3a^2x+a^3\\[0.5ex]b=\sqrt[3]{3ax^2+3a^2x+a^3}\end{array}$
— вот и получится натуральный корень $x$ для этих $a$ и $b$.

Например, Ваше уравнение с $a=2$ и $b=\sqrt[3]{218}$ имеет корень $x=5$. И такие примеры можно генерировать пачками.

[INGELRII]

Введем новую переменную $y=x+a$. Тогда уравнение запишется в виде $y^3=x^3+b^3$, следовательно...

[svv]

Говорит, $a$ и $b$ не обязательно целые.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: неполная формулировка задачи

serval
Сформулируйте задание полностью, корректно, осмысленно, без умолчаний.
Укажите, неизвестные переменные, параметры, множества, в которых они лежат.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.