Интеграл

[never-sleep]

Каким образом вычислять такой интеграл:

$\displaystyle\int\dfrac{x+1}{(ax^2+bx+c)\sqrt{kx^2+lx+m}}\cdot dx$

Может способ вычисления зависит от конкретных значений параметров. Но при каких как именно вычисляется. Я так понял, что нужно выделить полные квадраты у квадратных трехчленов.

Вот так $ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

Аналогично со вторым трехчленом. Это когда старшие коэф. не равны нулю. Если они равны нулю, то тогда другой подход нужен.

[Brukvalub]

Этот вопрос хорошо разобран в пособии "Виноградова, Олехник, Садовничий, Математический анализ в задачах и упражнениях, ч.1". Еще полезно полистать 2-й том трехтомного учебника Фихтенгольца.

[Otta]

И в задачниках Кудрявцева не менее хорошо.

[mihailm]

Он вобще везде разобран, где есть хоть какое-то интегрирование. Параграф обычно называется интегрирование некоторых иррациональных выражений.

[never-sleep]

Спасибо, почитал. А можете подсказать в случае такого интеграла?

$\displaystyle\int\dfrac{x+1}{(2x^2-6x+5)\sqrt{10x^2-38x+37}}\cdot dx$

Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Хотел подобрать $\beta$ и $\alpha$ так, чтобы занулить коэфициенты при $t$

Получилась система:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 4\alpha\beta-6\beta-6\alpha+10=0 \\ 20\alpha\beta-38\beta-38\alpha+74=0\\ \end{array} \right.$

Эта система имеет очень кривые корни $\beta=\dfrac{9\pm \sqrt{33}}{6}$ (альфу не стал искать).

Видно есть способ попроще. Может подскажете?

[Brukvalub]

never-sleep в сообщении #1018154 писал(а):

Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Странная подстановка, где же старая переменная?

[never-sleep]

Вторая идея $10x^2-38x+37=10(x-1,9)^2-1,8$

Тогда при замене $x=t+1,9$ интеграл перепишется в виде $\int \dfrac{t+2,9}{(2t^2+1,6+0,82)\sqrt{10t^2-1,8}}dt$

-- 21.05.2015, 13:12 --

Brukvalub в сообщении #1018155 писал(а):

never-sleep в сообщении #1018154 писал(а):

Я пробовал сделать дробно-линейную подстановку $t=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

Странная подстановка, где же старая переменная?

Извиняюсь, $x=\dfrac{\alpha+\beta t}{1+t}$

-- 21.05.2015, 13:16 --

Первым способом я хотел по этой схеме пройтись http://imgur.com/a/oNNCr. Но она очень длинная, а тут уже иррациональные числа получились, что отпугивает сразу

-- 21.05.2015, 13:23 --

В Фихтенгольце по этой теме нашел только вот этот кусок + подстановки Эйлера.



В Кудрявцеве подстановки Эйлера тоже нашел только. Но разве тут они могут помочь?

[ИСН]

Вы уже спрашивали общий случай этого интеграла в начале темы. Чтобы подставить циферки в общий случай и получить частный, ничего не нужно. Что Вам не нравится в этом подходе? Что ответ получается громоздкий? Значит, теперь такие стали на фабрике делать. Любой другой будет либо примерно такой же, либо неправильный.

[never-sleep]

Спасибо! Понятно.