Пусть

- комплексное банахово пространство,

- линейный ограниченный оператор на

, функция

аналитична в круге радиуса

с центром в нуле. Доказать, что

, где

.
В книге "Данфорд, Шварц - Линейные операторы. Том 1. Общая теория" вводится определение функции от оператора через интеграл, по аналогии с формулой Коши. В частности они доказывают, что для аналитических функций, представленных рядом, сходящимся в окрестности спектра, их определение и определение из задачи - совпадают. Потом они доказывают данную теорему уже для их определения, примерно так:
Цитата:
Пусть

, определим в области задания функции

функцию

. Тогда

Отсюда, если бы для

существовал бы ограниченный обратный оператор

, то

был бы таковым для

. Значит

.
Обратно, предположим, что

, но

. Тогда функция

аналитична в некоторой окрестности

. Тогда

, что противоречит предположению

.
Тут используются свойства определения функции от оператора через интеграл, например, что

. Очень хотелось бы решить задачу без теории с интегралами, потому что в курсе интегралов от операторов вообще не определяли. Пытался таким же способом, просто определяя через ряды. Первая часть вроде бы работает, потому что сходимость ряда для нашей функции легко доказать. А вот в обратную сторону уже не получается, поскольку нам известно лишь, что функция

аналитична в окрестности

, но не во всем круге радиуса

. Более того, если, например,

, то

вовсе нельзя разложить в ряд Тейлора вокруг нуля, а значит и подставить в нее оператор по самому первому определению. Поэтому формулу

, к сожалению, пока не получается написать.
Подскажите, может есть другой путь.