Ваши группы не транзитивны, стало быть многочлен приводим.
Взял конкретно

. И многочлен

неприводим, и группа транзитивна.
Что же до групп из первого сообщения, то, как я понял, ТС не пытался выписать конкретные группы подстановок, а рассматривал группы Галуа с точностью до изоморфизма.