2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение19.05.2015, 01:04 
Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение19.05.2015, 01:27 
kotopes

(Так это выглядит при цитировании)

kotopes в сообщении #1017005 писал(а):
$S_{4}\times$Z_2$$, а когда $A_{4}\times$Z_2$$.

Один доллар в начале, один доллар в конце. Больше не надо.
И Ваши соображения хотелось бы услышать.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение19.05.2015, 11:09 
Аватара пользователя
kotopes в сообщении #1017005 писал(а):
Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.

Странно все это выглядит... Если $K=R , \alpha=2 , \beta=8 $ , то разве таким будет минимальный многочлен? :shock:

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 01:35 
Случаи,при которых $\beta$ является кубом или подкоренное выражение квадратом исключим,в них все очевидно.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 10:37 
kotopes в сообщении #1017005 писал(а):
Здравствуйте! Есть элемент $\sqrt{\alpha+\sqrt[3]{\beta}}$, где $\alpha,\beta\in K$.Строю его минимальный многочлен-$f=x^6-3\alpha x^4+3\alpha^2x^2-\alpha^3-\beta$.Хочу понять при каких условиях группы Галуа будут $S_{4}\times Z_2$, а когда $A_{4}\times Z_2$.
Даже если исключить случаи точного куба и точного квадрата, все равно не обязаны получатся указанные Вами группы.
Например, при $\alpha=2, \beta=-2$ группа Галуа изоморфна группе диэдра $D_6$.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 18:10 
Да,согласен.Тогда хотелось бы понять,каким соотношениям должны удовлетворять$\alpha,\beta$ для того,чтобы получались указанные мной? группы?

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 22:52 
Я имел ввиду и тот случай, когда подкоренное выражение квадрат в $K(\sqrt[3]\beta)$

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 23:04 
Ваши группы не транзитивны, стало быть многочлен приводим.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение20.05.2015, 23:18 
AV_77 в сообщении #1018054 писал(а):
Ваши группы не транзитивны, стало быть многочлен приводим.

Взял конкретно $\alpha=2, \beta=5$. И многочлен $(x^6-6x^4+12x^2-13)$ неприводим, и группа транзитивна.
Что же до групп из первого сообщения, то, как я понял, ТС не пытался выписать конкретные группы подстановок, а рассматривал группы Галуа с точностью до изоморфизма.

 
 
 
 Re: многочлен шестой степени,группа Галуа
Сообщение21.05.2015, 20:25 
AV_77, а почему же они не транзитивны? Вы можете две орбиты предъявить?

-- 21.05.2015, 20:27 --

Просто совершенно не ясно, какой бы инвариант помог различать группы, которые могут получаться расширениями с помощью данного элемента.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group