Интересное неравенство

[Leader171]

Пусть $a,b,c,d$ - стороны 4-угольника, $2a>d.$
Доказать:
$\frac{a+2b}{4c+d}+\frac{a+2c}{4b+d}>\frac{2(3a-d)}{a+2b+2c+d}.$

[arqady]

Leader171 писал(а):

Пусть $a,b,c,d$ - стороны 4-угольника, $2a>d.$
Доказать:
$\frac{a+2b}{4c+d}+\frac{a+2c}{4b+d}>\frac{2(3a-d)}{a+2b+2c+d}.$

У меня получилось, что условие $2a>d$ лишнее:
Пусть $ f(a,b,c,d)=\frac{a+2b}{4c+d}+\frac{a+2c}{4b+d}-\frac{2(3a-d)}{a+2b+2c+d}.$
Тогда $f(a,b,c,d)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2},d\right)=\frac{4(2a+4b+4c+d)(b-c)^2}{(4c+d)(4b+d)(2b+2c+d)}\geq0.$
То бишь осталось доказать, что $f(a,b,b,d)>0.$
Но $f(a,b,b,d)>0\Leftrightarrow(2b+d-a)(4b+d-a)>0,$ что очевидно.

[Leader171]

Я по-другому решал=). Там оно не лишнее.