Почему сумма корней из единицы - ноль?

[fractalon]

Здравствуйте! Как я понимаю, для всякого целого $n>0$ имеет место равенство $\sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi i \frac{k}{n}}}$. Собственно, хотелось бы какого-то доказательства, для полного понимания... Для чётного $n$ всё понятно, всё симметрично. Для нечётного $n$ мнимые части тоже симметричны. А вот почему $\sum \limits_{k=1}^{n} {\cos(2 \pi \frac{k}{n})} = 0$ - как-то совсем неясно...

[venco]

А умножьте эту сумму на такое число (не единицу), чтобы она не изменилась.

[Brukvalub]

А сложите-ка геометрическую прогрессию.

[fractalon]

Всё, понял, спасибо.
$s = s e^{2 \pi i \frac{1}{n}}$, где $s$ - искомая сумма, а $e^{2 \pi i \frac{1}{n}} \not = 0$.
Всё просто, как и ожидалось.

[ewert]

fractalon в сообщении #1016063 писал(а):

Для чётного $n$ всё понятно, всё симметрично.

Для любого симметрично: если довернуть картинку на уголок между точками, то она не изменится, а с ней не изменится и сумма.

[VAL]

А еще есть формулы Виета...