2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение16.05.2015, 21:53 


08/09/13
210
Здравствуйте! Как я понимаю, для всякого целого $n>0$ имеет место равенство $\sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi i \frac{k}{n}}}$. Собственно, хотелось бы какого-то доказательства, для полного понимания... Для чётного $n$ всё понятно, всё симметрично. Для нечётного $n$ мнимые части тоже симметричны. А вот почему $\sum \limits_{k=1}^{n} {\cos(2 \pi \frac{k}{n})} = 0$ - как-то совсем неясно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение16.05.2015, 21:55 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
А умножьте эту сумму на такое число (не единицу), чтобы она не изменилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение16.05.2015, 21:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
А сложите-ка геометрическую прогрессию. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение16.05.2015, 22:24 


08/09/13
210
Всё, понял, спасибо.
$s = s e^{2 \pi i \frac{1}{n}}$, где $s$ - искомая сумма, а $e^{2 \pi i \frac{1}{n}} \not = 0$.
Всё просто, как и ожидалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение16.05.2015, 23:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32089
fractalon в сообщении #1016063 писал(а):
Для чётного $n$ всё понятно, всё симметрично.

Для любого симметрично: если довернуть картинку на уголок между точками, то она не изменится, а с ней не изменится и сумма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему сумма корней из единицы - ноль?
Сообщение17.05.2015, 02:27 
Заслуженный участник


27/06/08
3552
Волгоград
А еще есть формулы Виета...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group