Геодезическая кривизна кривой

[Lapana]

Добрый день.
Есть такая задача: Даны 2 поверхности $F(x; y; z) = 0$ и $G(x; y; z) = 0$, пересекающиеся по регулярной кривой. Нужно найти геодезическую кривизну этой кривой на поверхности $F=0$ в точке $({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$

Вспоминая формулу для геодезической кривизны:

${k}_{g}=\frac{({\bar{c}} ',{\bar{c}} '',\bar{m})}{|{\bar{c} '}|^{3}}$

где ${\bar{c}}$ - это параметризация кривой
${\bar{c}} '$ - касательная к ней
${\bar{c}} ''$ - вектор кривизны
${\bar{m}} $ - единичный вектор главной нормали к пов-ти

Я беру в качестве ${\bar{m}} = \frac{gradF}{|gradF|}$,

в качестве касательной вектор $f\times g$ , где $f=gradF$ и $g=gradG$

$f\times g=(F_{y} ' G_{z} ' - F_{z} ' G_{y} ', F_{z} ' G_{x} ' - F_{x} ' G_{z} ' , F_{x} ' G_{y} ' -F_{y} ' G_{x} ')
И я не понимаю как мне взять производную от этого вектора?

Вроде надо взять производную от каждой компоненты.
Но вот чему, например, равняется $ (F_{y} ' G_{z} ' - F_{z} ' G_{y} ') '$ ?

Или возможно стоит вообще изменить все решение?

[svv]

Lapana в сообщении #1015512 писал(а):

Вспоминая формулу для геодезической кривизны:
${k}_{g}=\frac{({\bar{c}} ',{\bar{c}} '',\bar{m})}{|{\bar{c} '}|^{3}}$

где ${\bar{c}}$ - это параметризация кривой
${\bar{c}} '$ - касательная к ней
${\bar{c}} ''$ - вектор кривизны
${\bar{m}} $ - единичный вектор главной нормали к пов-ти

Формула верна, но Вы её не совсем правильно интерпретируете. У нас есть радиус-вектор $\mathbf c$, зависящий от параметра, скажем, $t$. Тогда $\mathbf c'(t)=\frac{d\mathbf c(t)}{dt}$ — касательный вектор.
Параметр $t$ может быть натуральным или не быть таковым. В первом случае вектор $\mathbf c'$ будет единичным. Тогда в знаменателе единица, и формула упрощается до $k_g=(\mathbf c' ,\mathbf c'',\mathbf m)$.
Но если параметр $t$ произвольный, то $|\mathbf c'|\neq 1$, и вектор $\mathbf c''(t)$ не совпадает с вектором кривизны, даже по направлению. Единственное, что можно про него утверждать — что он лежит в соприкасающейся плоскости, как главная нормаль и «настоящий» вектор кривизны.

Lapana в сообщении #1015512 писал(а):

я не понимаю как мне взять производную от этого вектора?

Обозначим $\mathbf h=\mathbf f\times\mathbf g$. Так как вектор $\mathbf h$ касателен к кривой, можно выбрать такую параметризацию, что $\mathbf c'(t)=\mathbf h$. Тогда
$\mathbf c''(t)=\dfrac{d\mathbf h}{dt}=\dfrac{\partial\mathbf h}{\partial x^i} \dfrac{d x^i}{dt}=\dfrac{\partial\mathbf h}{\partial x^i} h^i=\left(h^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}\right)\mathbf h=(\mathbf h\cdot\nabla)\mathbf h$
Эта штука иногда называется «производная вектора по направлению (другого вектора)», в данном случае оба равны $\mathbf h$. Её можно выразить через более привычные дифференциальные операторы, вроде градиента и ротора.
Итак,
${k}_{g}=\dfrac{(\mathbf h,(\mathbf h\cdot\nabla)\mathbf h,\mathbf f)}{|\mathbf h|^{3}|\mathbf f|}$