Связь тригонометрии с формулой Эйлера

[Bibizyan]

Говорят, все тригонометрические тождества можно вывести из формулы Эйлера: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$
Справедливо ли это для формулы: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin {(\alpha + \beta)} + \sin {(\alpha - \beta)}}{2}$

[Lia]

Разумеется. Какие возникли сложности?

[ИСН]

Не только выводятся, но и думать для этого совершенно не нужно. Напишите $e^{i(\alpha+\beta)}$, $e^{i(\alpha-\beta)}$, и крутите их в руках.

[Bibizyan]

Допустим, распишу я $e^{i (\alpha + \beta)} = e^{i \alpha} e^{i \beta}$
Отсюда: $\cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta) = {(\cos \alpha + i \sin \alpha)}{(\cos \beta + i \sin \beta)}$
Чувствую, что неправильно я делаю. Но другого пути пока не вижу.

[Ms-dos4]

Bibizyan
Вы можете просто в тупую расписать левую часть $\[\sin \alpha \cos \beta = \frac{{{e^{i\alpha }} - {e^{ - i\alpha }}}}{{2i}}\frac{{{e^{i\beta }} + {e^{ - i\beta }}}}{2} = ...\]$, а теперь раскройте скобки и сгруппируйте экспоненты так, что бы получились синусы.

[ИСН]

Bibizyan в сообщении #1014791 писал(а):

Отсюда: $\cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta) = {(\cos \alpha + i \sin \alpha)}{(\cos \beta + i \sin \beta)}$
Чувствую, что неправильно я делаю. Но другого пути пока не вижу.

Неправильно то, что Вы стоите неподвижно, обеими ногами на земле. Да, так цели не достичь (причём неважно, какой цели). Надо было продолжать крутить. Причём крутить обе детальки; я Вам дал две, а где вторая? Валяется на земле в трёх шагах позади?

[Bibizyan]

Всем спасибо, всё получилось.
Сделал, как Ms-dos4 предложил.