Различие между теоремой Юнга и теоремой Шварца

[lexus c.]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, разобраться, чем отличаются теорема Юнга от теоремы Шварца. Мб они работают для разных классов функций? Я вот что-то никак не могу понять.
Заранее большое спасибо!

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

Я так понимаю, теорма Юнга применима к более узкому классу функций.

[Brukvalub]

А Вы их для начала выпишите здесь, тогда и сравнить будет нетрудно.

[lexus c.]

Теорема Шварца:
Пусть функция

\[f(x_1 ,x_2 )\]

в некоторой окрестности точки \[ \bar x = \bar a = (a_1 ,a_2 ) имеет смешанные частные производные второго порядка

\[\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial x_1 \partial x_2 }}\]

и

\[\frac{{\partial^2f}}{{\partial x_2 \partial x_1 }}\]

, причём они непрерывны в точке

\[ \bar x = \bar a \]

. Тогда в точке

\[ \bar x = \bar a \]

эти производные равны между собой, т.е.

\[ f''_{x_1 x_2 } (\bar a) = f''_{x_2 x_1 } (\bar a) \]

Теорема Юнга:
Пусть функции

\[ f'_{x_1 } (x_1 ,x_2 ) \]

и

\[ f'_{x_2 } (x_1 ,x_2 ) \]

определены в некоторой окрестности точки

\[ \bar x = \bar a = (a_1 ,a_2 ) \]

и дифференцируемы в точке

\[ {\bar a} \]

. Тогда

\[ f''_{x_1 x_2 } (a_1 ,a_2 ) = f''_{x_2 x_1 } (a_1 ,a_2 ) \]

[Brukvalub]

Вот теперь легко указать различия. Например, из условий т. Юнга следует, что смешанные вторые производные существуют, но они не обязаны быть непрерывными в рассматриваемой точке. Зато, например, в этой теореме в рассматриваемой точке обязаны существовать все вторые частные производные, а в т. Шварца - только смешанные. Вот сколько различий Так что , отчасти, Вы правы:

lexus c. писал(а):

они работают для разных классов функций?

lexus c. писал(а):

Я так понимаю, теорма Юнга применима к более узкому классу функций.

А вот с этим я не соглашусь.

[lexus c.]

Brukvalub писал(а):

lexus c. писал(а):

Я так понимаю, теорма Юнга применима к более узкому классу функций.

А вот с этим я не соглашусь.

Ага, я как раз подумал о том, что в теореме Шварца не требуется существования ВСЕХ ч.п. второго порядка, а в теореме Юнга - да, а на требования к непрерывности вообще не обратил внимания ) Поэтому посчитал, что теорема Шварца более обща )
Спасибо большое )