Многочлен и его производные

[neo66]

Существуют ли многочлены степени $n$, кроме $a(x-b)^n$, имеющие общий корень c каждой своей производной вплоть до порядка $n-1$?

[Руст]

нет. Берёте n-1 производную и последовательно интегрируете.

[neo66]

Rust:
Простите за тупость, не понял. Не могли бы пояснить чуть подробней?

[Профессор Снэйп]

Не уверен, что многочлены над произвольным полем (или даже коммутативным кольцом) можно интегрировать. Между тем понятие производной определяется для многочленов (от одной переменной) над произвольным коммутативным кольцом, а не только для многочленов с коэффициентами из $\mathbb{R}$.

Возьмем многочлен $f(x) = x^3 - x^2$ над полем характеристики $2$. Тогда $f'(x) = x^2$ и $f''(x) = 0$. Многочлены $f(x)$, $f'(x)$ и $f''(x)$ имеют общий корень $0$, однако многочлен $f(x) = x^2(x-1)$ имеет 2 различных корня и, значит, не представим в виде $a(x-b)^3$ (последний многочлен имеет единственный корень $b$). Значит, в произвольном случае ответ на вопрос автора темы положителен.

Однако если коэффициенты многочлена берутся из поля характеристики $0$, то ответ, похоже, действительно будет отрицательным. Это можно доказать индукцией по $n$. Действительно, если $f(x)$ --- многочлен степени $n+1$ и $f'(x) = a(x-b)^n$, то многочлен $f(x) - a(x-b)^{n+1}/(n+1)$ имеет нулевую производную, так что сам является многочленом степени $\leqslant 0$. Значит, $f(x) = c(x-b)^{n+1} + d$ для $c = a/(n+1)$ и некоторого элемента поля $d$. Причем $b$ может быть корнем многочлена $f(x)$ тогда и только тогда, когда $d=0$. Многочлены над полем характеристики $0$ действительно "интегрируются" (то есть восстанавливаются по своей производной с точностью до свободного члена).

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Однако если коэффициенты многочлена берутся из поля характеристики $0$, то ответ, похоже, действительно будет отрицательным. Это можно доказать индукцией по $n$. Действительно, если $f(x)$ --- многочлен степени $n+1$ и $f'(x) = a(x-b)^n$, то ...

Почему $f'(x) = a(x-b)^n$ ?

[Хорхе]

TOTAL писал(а):

Почему $f'(x) = a(x-b)^n$ ?

Мне тоже интересно, при чем тут индукция? Вроде никто не говорил, что у первой производной тоже есть общий корень с каждой следующей.

[Профессор Снэйп]

Да вроде правда не при чём. Поспешил вслед за Рустом.