2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 03:51 


06/09/14
71
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному. В указании написано, что может помочь то, что любую матрицу $A$ из $SL(\mathbb{R}, n)$ для любого базисного набора векторов $v_1, ..., v_n$ можно так домножить на произведение элементарных матриц $B$, что $AB$ переведет этот базис в свою четную перестановку. Я доказал это, но не понимаю, как это может помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.
Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это значит, что здесь отрубаешь, сюда прикладываешь, и выходит кирпич.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 11:15 


06/09/14
71
TOTAL в сообщении #1013798 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.
Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

Параллелепипед - многогранник, который получается пересечением n областей вида $a \le L_i(x) \le b$, где $L_i$ - линейные функции. Координатный параллелепипед - декартово произведение отрезков. Параллельная равносоставленность означает, что можно разрезать на многогранники и так их параллельно перенести, чтобы получилось разрезание друого. Разрезать на многогранники - представить в качестве объединения многогранников, которые пересекаются по вырожденным. Многогранник - элемент алгебры порожденной симплексами, вырожденный многогранник - элемент алгебры порожденной вырожденными симплексами.

Еще я умею доказывать это для параллелепипедов, которые получаются из координатного, применением к нему одной элементарной матрицы

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 15:49 


06/09/14
71
TOTAL в сообщении #1013818 писал(а):
1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

Так, а на лапшу зачем резать, может просто разрезать сразу весь параллелепипед пополам и одну часть перенести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 15:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 16:01 


06/09/14
71
ИСН в сообщении #1013873 писал(а):
Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

А в чем проблема? Просто берем его проекцию на ось, это будет отрезок, находим его середину, и проводим через нее разрезающую гиперплоскость.

А я понял, эти штуки там не состыкуются, тогда можно сделать просто больше разрезов

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Pretty Kitty в сообщении #1013877 писал(а):
тогда можно сделать просто больше разрезов
Именно. Вот это и будет лапша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение13.05.2015, 13:51 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Для меня самый понятный подход такой.
1. Замечаем, что если грань сдвинуть вдоль её ребра, получится параллельно равносоставленный параллелепипед.
Изображение
Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\lambda a_k$.
Это очевидно для $|\lambda|\leqslant 1$ (на рисунке к почтивертикальному образующему вектору прибавили половину почтигоризонтального). Повторяя, можно получить любое $\lambda$.
2. Значит, грань можно сдвигать параллельно ей самой как угодно, с сохранением равносоставленности. Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\sum\limits_{k\neq j} \lambda_k a_k$.
3. Теперь легко последовательно добиться того, чтобы каждое ребро было координатным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group