2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 03:51 
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному. В указании написано, что может помочь то, что любую матрицу $A$ из $SL(\mathbb{R}, n)$ для любого базисного набора векторов $v_1, ..., v_n$ можно так домножить на произведение элементарных матриц $B$, что $AB$ переведет этот базис в свою четную перестановку. Я доказал это, но не понимаю, как это может помочь.

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 10:40 
Аватара пользователя
Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.
Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 10:49 
Аватара пользователя
Это значит, что здесь отрубаешь, сюда прикладываешь, и выходит кирпич.

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 11:15 
TOTAL в сообщении #1013798 писал(а):
Pretty Kitty в сообщении #1013765 писал(а):
Подскажите как доказать, что произвольный параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному.
Что такое "параллелепипед в $\mathbb{R}^n$ параллельно равносоставлен некоторому координатному"?

Параллелепипед - многогранник, который получается пересечением n областей вида $a \le L_i(x) \le b$, где $L_i$ - линейные функции. Координатный параллелепипед - декартово произведение отрезков. Параллельная равносоставленность означает, что можно разрезать на многогранники и так их параллельно перенести, чтобы получилось разрезание друого. Разрезать на многогранники - представить в качестве объединения многогранников, которые пересекаются по вырожденным. Многогранник - элемент алгебры порожденной симплексами, вырожденный многогранник - элемент алгебры порожденной вырожденными симплексами.

Еще я умею доказывать это для параллелепипедов, которые получаются из координатного, применением к нему одной элементарной матрицы

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 11:53 
Аватара пользователя
1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 15:49 
TOTAL в сообщении #1013818 писал(а):
1) разрезаем параллелепипед на лапшинки вдоль его одного ребра
2) каждую лапшинку разрезаем пополам поперек координатной оси $x_1$
3) перестыковываем каждую лапшинку разрезом наружу
4) собираем их снова в параллелепипед в прежнем порядке

Получили паралелепипед, у которого есть грань с $x_1=const$
И так далее до готовности.

Так, а на лапшу зачем резать, может просто разрезать сразу весь параллелепипед пополам и одну часть перенести?

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 15:58 
Аватара пользователя
Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 16:01 
ИСН в сообщении #1013873 писал(а):
Я не особо вникал, но вроде он может быть настолько косым, что сразу пополам не разрезать.

А в чем проблема? Просто берем его проекцию на ось, это будет отрезок, находим его середину, и проводим через нее разрезающую гиперплоскость.

А я понял, эти штуки там не состыкуются, тогда можно сделать просто больше разрезов

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение12.05.2015, 16:34 
Аватара пользователя
Pretty Kitty в сообщении #1013877 писал(а):
тогда можно сделать просто больше разрезов
Именно. Вот это и будет лапша.

 
 
 
 Re: Параллельная равносоставленность параллелепипеда
Сообщение13.05.2015, 13:51 
Аватара пользователя
Для меня самый понятный подход такой.
1. Замечаем, что если грань сдвинуть вдоль её ребра, получится параллельно равносоставленный параллелепипед.
Изображение
Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\lambda a_k$.
Это очевидно для $|\lambda|\leqslant 1$ (на рисунке к почтивертикальному образующему вектору прибавили половину почтигоризонтального). Повторяя, можно получить любое $\lambda$.
2. Значит, грань можно сдвигать параллельно ей самой как угодно, с сохранением равносоставленности. Этому соответствует замена ребра $a_j$ на $a_j+\sum\limits_{k\neq j} \lambda_k a_k$.
3. Теперь легко последовательно добиться того, чтобы каждое ребро было координатным.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group