Доказательство, связанное с замыкание множества

[underWHAT]

Здравствуйте. Нужно показать, что замыкание $\overline{E}$ в $R^{n}$ любого множества $E$
является замкнутым в $R^{n}$ множеством.

Вот ход моего доказательства. $\overline {E}$ $\subset R^{n}$ замкнуто, если $R^{n}\setminus \overline E$ открыто. $X\subset R^{n}$ открыто, если $\forall x \in X \exists B_{\varepsilon}(x)\subset X$
Объединим $E$ c $\partial E$; $E\cup \partial E = \overline E$, где $\partial E$ это граница множества $E$.
Любая окрестность точки границы, содержит точки, принадлежащие $E$ и точки, не принадлежащие ему.
$\overline E$ замкнуто $\Longleftrightarrow R^{n}$\setminus$ \overline E$ открыто
$\overline E=E\cup \partial E$
Пусть $X=R^{n}\setminus \overline E$ открыто $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in X$
$\exists B_{\varepsilon}(x) \subset X$
Возьмем любое $x$ $\forall x \in X$. Найдем $B_{\varepsilon}(x) \in X$
x не принадлежит $E$, $x$ не является предельной для $E$ $\Longleftrightarrow$ $x$ не принадлежит $\partial E$
$\Rightarrow$ тогда $x \in X = R^{n} \setminus \overline E$
$X$ - открытое множество или окрестность $x$, которая не содержит точки множества $\overline E$ $\Rightarrow$ $x$ не предельная точка для $\overline E$ $\Rightarrow$
Что пока в этом доказательстве неправильно и как его можно закончить, так как пока мыслей каких-то не приходит, чтобы обернуть это для вывода, напишите пожалуйста.

[Brukvalub]

underWHAT в сообщении #1013485 писал(а):

Пусть $X=R^{n}\setminus \overline E$ открыто ...

Зачем вам что-то там доказывать, если вы делаете такие ГРУБЫЕ логические ошибки? Это "ужос какой-то".

[provincialka]

У вас определение замыкания именно так дается? Через понятие "граница"?
Здесь это неудобно... (например, вы слышали про "точки прикосновения"? Или хотя бы предельные точки множества?)