Cхема Дюфорта-Франкеля

[Challenger]

В книге Калиткина "Численные методы" на стр. 378 говорится, что легко показать методом разделения переменных, что схема Дюфорта-Франкеля безусловна устойчива. Однако мне это показалось не так уж и легко.
Схема Д-Ф выглядит следующим образом:
$\frac{1}{2\tau}(y_m^{n+1} - y_m^{n-1}) = \frac{1}{h^2}(y_{m+1}^n-y_m^{n+1} - y_m^{n-1}+y_{m-1}^n)$
которую можно переписать как
$\biggl(\frac{1}{2\tau}+\frac{1}{h^2}\biggr)y_m^{n+1} = \biggl(\frac{1}{2\tau}-\frac{1}{h^2}\biggr)y_m^{n-1}+\frac{1}{h^2}(y_{m+1}^n+y_{m-1}^n)$.
Делая замену $y_m^{n} = \lambda^n e^{im\varphi}$ получаем квадратное уравнение:
$\biggl(\frac{1}{2\tau}+\frac{1}{h^2}\biggr)\lambda^2-\frac{2}{h^2}\cos\varphi \cdot \lambda - \biggl(\frac{1}{2\tau}-\frac{1}{h^2}\biggr) = 0$
дискриминант которого равен:
$D = \frac{1}{\tau^2} - \frac{4}{h^4}\sin^2 \varphi$
и корни:
$\lambda_{\pm} = \frac{\frac{2}{h^2}\cos \varphi \pm \sqrt{\frac{1}{\tau^2} - \frac{4}{h^4}\sin^2 \varphi}}{\frac{1}{\tau}+\frac{2}{h^2}}$
Из условия устойчивости $|\lambda_{\pm}| < 1$ ничего хорошего, по-моему, не следует.
Была идея применить т. Виета, тогда $\Biggl|\frac{\frac{1}{2\tau}-\frac{1}{h^2}}{\frac{1}{2\tau}+\frac{1}{h^2}}\Biggr| < 1$, которое всегда выполнено. Но неуверен, что этот подход верен. В общем, прошу помощи!

[Утундрий]

Используйте $\sigma \equiv {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {h^2 }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {h^2 }}$, будет читабельней.

[Challenger]

Хорошо, пусть $\sigma = \frac{\tau}{h^2}$. Да я забыл сказать, хотя вы это уже поняли, что схема для уравнения $u_t = u_{xx}$.
После читабельной замены получим:
$(\sigma + 0.5)\lambda^2 - 2\sigma \cos \varphi \cdot \lambda - (0.5 - \sigma) = 0$
$D = 1-4\sigma^2\sin^2\varphi$,
$\lambda_{\pm} = \frac{2\sigma\cos \varphi \pm \sqrt{1-4\sigma^2\sin^2\varphi}}{\sigma+0.5}$
Тем не менее, если посмотреть на условие устойчивости: $|\lambda_{\pm}| < 1$, то имеем
$\[ \lambda_{\pm} = \frac{2\sigma\cos \varphi \pm \sqrt{1-4\sigma^2\sin^2\varphi}}{\sigma+0.5} < 1 \\ 2\sigma\cos \varphi \pm \sqrt{1-4\sigma^2\sin^2\varphi} < \sigma + 0.5 \\ \pm \sqrt{1-4\sigma^2\sin^2\varphi} < \sigma + 0.5 -2\sigma\cos \varphi\\ 1-4\sigma^2\sin^2\varphi < \sigma^2 + 4\sigma^2\cos^2\varphi + 0.25 + \sigma - 4\sigma^2 \cos \varphi - 2\sigma \cos \varphi\\ \sigma^2 + \sigma - 4\sigma^2 \cos \varphi - 2\sigma \cos \varphi + 0.25 > 0 \\ 2\sigma + 1 > 8\sigma\cos \varphi \]$
Последнее не при всех $\sigma$ и $\varphi$ выполнено.

[Утундрий]

Вы где-то двойку потеряли.

[NSKuber]

Не уверен, про какую двойку идёт речь.
Мне кажется, Challenger, что вы $4\sigma^2 \sin^2 \varphi + 4\sigma^2 \cos^2 \varphi $ очень странно схлопнули.

[Утундрий]

NSKuber в сообщении #1013055 писал(а):

про какую двойку идёт речь.

Ещё в лямбде.

[Challenger]

Да, понял какую я двойку потерял и как не правильно свернул $4\sigma^2\cos \varphi$ и $4\sigma^2\sin \varphi$. Теперь все действительно получилось. Спасибо вам большое!

[zhanna1212]

можете написать полное решение этой задачи

[Lia]

zhanna1212
Нет. Это запрещено правилами форума.