Эквипотенциальные линии электрического и магнитного полей.

[Solaris86]

Увидел недавно очень хорошую картинку сравнения электрического и магнитного полей. Для электрического поля - точечный заряд, для магнитного поля - проводник с током. Далее, от заряда во все стороны идут радиально линии напряженности электрического поля, а перпендикулярно им концентрические окружности - эквипотенциальные линии. Это всё понятно.
Сложнее с магнитным полем. Вокруг источника тока нарисованы концентрический окружности напряженности магнитного поля, а радиально от проводника с током нарисованы эквипотенциальные линии, перпендикулярно пересекающие линии напряженности магнитного поля.
Отсюда по аналогии с потенциалом электрического поля вытекает потенциал магнитного поля - $\varphi_{\text{м}}$ и магнитное напряжение $U_{\text{м}}$ = \varphi_{\text{м1}} - \varphi_{\text{м2}} = \Delta \varphi_{\text{м}}$
Откуда по аналогии с электрическим полем напряженность магнитного поля будет
$H = - \operatorname{grad} \varphi_{\text{м}} = - \nabla \varphi_{\text{м}}$
Вот что непонятно: как понять эти эквипотенциальные линии магнитного поля и градиент потенциала, когда поле круговое и замкнуто само на себя? Градиент же должен все время падать или всё время расти, но поле замкнуто само на себя и всё время возвращаешься в ту же самую точку...
И непонятно про оператор набла.
В случае электрического поля $\nabla^2 \varphi_{\text{э}} = - \frac {\rho_{\text{э}}} {\varepsilon_0}$
В случае магнитного поля $\nabla^2 \varphi_{\text{м}} = 0, вместо того, чтобы написать $\nabla^2 \varphi_{\text{м}} = - \frac {\rho_{\text{м}}} {\mu_0}$
Помогите разобраться, что такое набла и набла в квадрате и всё остальное, о чём я тут писал.

[aa_dav]

Поэтому есть деление на поля потенциальные и непотенциальные.

[Ms-dos4]

Solaris86
В случае магнитного поля скалярный потенциал уже не работает (на самом деле такой потенциал $\[\psi \]$ всё таки можно ввести, но там всё не так просто, он "работает не всегда") Вводится векторный потенциал $\[{\vec A}\]$, согласно равенству $\[\vec B = {\mathop{\rm rot}\nolimits} \vec A\]$. Тогда можно получить уравнение $ \[{\nabla ^2}\vec A = - \frac{{4\pi }}{c}\vec j\]$ (для $\[\mu = 1\]$).
P.S.Если вы не знаете, что такое набла, а соотв. и градиент, дивергенция и ротор, то вам следует во первых заняться математикой, а во вторых, читайте уже наконец Зильбермана, там эти понятия объяснены.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1012411 писал(а):

Сложнее с магнитным полем. Вокруг источника тока нарисованы концентрический окружности напряженности магнитного поля, а радиально от проводника с током нарисованы эквипотенциальные линии, перпендикулярно пересекающие линии напряженности магнитного поля.

Вот это нарисовано неправильно.

Там, где вы видели эту картинку, вас обманули.

Имейте в виду, просто искать в интернете какие-то "картинки" - это большой риск натолкнуться на враньё и лженауку. Очень большой. Иногда больше 90 %.

Solaris86 в сообщении #1012411 писал(а):

Помогите разобраться, что такое набла и набла в квадрате и всё остальное, о чём я тут писал.

Для обычных функций от одной переменной, таких как $y(x),$ есть понятие производной, и противоположные ему понятия первообразной, неопределённого интеграла. Если вы этих понятий не знаете, вам надо разобраться сначала с ними.

В физике часто рассматриваются функции от нескольких переменных - функции, заданные для точек в пространстве. Кроме того, сами функции бывают не скалярные, а векторные: одна функция задаёт сразу несколько чисел, которые изображаются вектором. Для таких функций вместо одного понятия производной появляется несколько новых понятий (операций дифференцирования):
- $\vec{v}=\operatorname{grad}s$ - векторная производная скалярной функции, называется градиент;
- $s=\operatorname{div}\vec{v}$ - скалярная производная векторной функции, называется дивергенция (старое название "расходимость"; ещё говорят про "источники", "истоки и стоки");
- $\vec{w}=\operatorname{rot}\vec{v}$ - векторная производная векторной функции, называется ротор (старое название "вихрь"; в английском языке используется обозначение $\operatorname{curl}$);
заметьте, что скалярной производной скалярной функции в этом случае вообще нет. Смыслы у этих производных разные, они не сводятся одна к другой, поэтому их и приходится ввести три штуки. Первым делом, вам надо разобраться с этими смыслами, со всеми по отдельности.

Потом, по правилам векторной алгебры, оказывается, что все три эти производные можно символически записать однообразно, через некоторый "оператор производной", который называется набла (в английском языке ещё del):
- $\vec{v}=\operatorname{grad}s=\nabla s$;
- $s=\operatorname{div}\vec{v}=\nabla\cdot\vec{v}=(\nabla\vec{v})$;
- $\vec{w}=\operatorname{rot}\vec{v}=\nabla\times\vec{v}=[\nabla\vec{v}].$
Смысл у этого появляется только на 3-м курсе, а пока можете вообще не думать, зачем это - просто два эквивалентных способа записи.

С противоположными понятиями (для производной это были первообразная и неопределённый интеграл) в многомерном случае тоже непросто. Иногда "первообразных" для какой-то операции дифференцирования бывает слишком много, а иногда бывает вообще ни одной. Именно про это вам тут говорят:
- не для всякой векторной функции найдётся такая скалярная функция, что данная векторная функция - её градиент;
- не для всякой векторной функции найдётся другая векторная функция, что данная векторная функция - её ротор.
С электростатическим полем всё просто и систематично. А вот с магнитным всё сложнее, и прямой аналогии нет. Зря вы пытаетесь её придумать - её просто вообще нет, это математическая теорема.

"Набла в квадрате" - это вторая производная. Сначала разберитесь с первой, а потом уже лезьте во вторую.

[Solaris86]

Спасибо!! Начну читать математику. А какой именно раздел посвящен этим производным? Векторный анализ?

Munin в сообщении #1012502 писал(а):

- $\vec{v}=\operatorname{grad}s$ - векторная производная скалярной функции, называется градиент;
- $s=\operatorname{div}\vec{v}$ - скалярная производная векторной функции, называется дивергенция (старое название "расходимость"; ещё говорят про "источники", "истоки и стоки");
- $\vec{w}=\operatorname{rot}\vec{v}$ - векторная производная векторной функции, называется ротор (старое название "вихрь"; в английском языке используется обозначение $\operatorname{curl}$);
заметьте, что скалярной производной скалярной функции в этом случае вообще нет.

А лаплассиан - это не не скалярная производная скалярной функции?

[Ms-dos4]

Solaris86
Лаплассиан это оператор "второго порядка", представляющий собой дивергенцию градиента $\[{\nabla ^2}f = {\mathop{\rm div}\nolimits} \ {\mathop{\rm grad}\nolimits} f\]$ (это для скалярных функций, его ещё можно применять на вектор-функции, там он действует немного по другому).

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1013095 писал(а):

Спасибо!! Начну читать математику. А какой именно раздел посвящен этим производным? Векторный анализ?

У этого раздела есть два названия (так исторически сложилось). Есть название "векторный анализ". Но оно встречается сравнительно редко или в зарубежных учебниках (vector calculus). Обычно "векторный анализ" - это отдельная книжка.

А есть название "теория поля". Это название встречается чаще. Обычно "теория поля" - это раздел в учебнике "математический анализ".

Иногда эти названия используются вместе, "векторный анализ и теория поля", и подразумевают нечто единое с таким названием.

Перед этим разделом необходимо изучить:
- анализ функций одной переменной, производные, неопределённые интегралы, определённые интегралы;
- функции нескольких переменных: частные производные, производные по направлению;
- кратные интегралы; криволинейные и поверхностные интегралы.

Хотя в Зильбермане понятия векторного анализа даются "на пальцах", без всего этого. Но здесь есть недостаток: образно понять, что это такое, вы ещё сможете, а вот считать что-то - нет.

Solaris86 в сообщении #1013095 писал(а):

А лаплассиан - это не не скалярная производная скалярной функции?

Лапласиан (пишется с одной "с") - это вторая производная.
Лапласиан можно брать от скалярной и от векторной функции. Так что:
Лапласиан - это скалярная вторая производная скалярной функции.
Лапласиан - это векторная вторая производная векторной функции.

Можете считать, что по определению
$\Delta s\equiv\nabla^2 s=\nabla(\nabla s)=\operatorname{div}(\operatorname{grad}s)$
(обычно записывается без скобочек), и для векторной функции по определению
$\Delta\vec{v}\equiv\nabla^2\vec{v}=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec{v})-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec{v})$
(почему взяли такое определение - вам подробно расскажут позже).

Так что, как видите, лапласиан - это не нечто новое, а комбинации уже перечисленных мной первых производных.

Обозначение: по-русски принято писать $\Delta,$ а по-английски $\nabla^2.$ Кроме того, не путайте это с той "дельта", которая обозначает приращение.

[Solaris86]

Pphantom:

Длинную и ненужную цитату я ликвидировал.

Премного благодарен, начну погружение.

[Munin]

Отучайтесь от оверквотинга. Это невежливо с точки зрения нетикета.

[Solaris86]

ОК

[fronnya]

Solaris86 в сообщении #1013301 писал(а):

Премного благодарен, начну погружение.

Но.. Перед тем как вы погрузитесь, просто интересно, как у вас обстоят дела с кратными интегралами и аналитической геометрией? Ну и с дифф.геометрией.

[Munin]

fronnya в сообщении #1015052 писал(а):

Ну и с дифф.геометрией.

Не слишком ли? Дифгем идёт уже после "теории поля".

Уточню: есть ещё название "теория поля" в физике. Это совсем другой раздел, более "суровый", хотя близкородственный: там тоже обсуждаются вещи типа электрического и магнитного поля.

И в математике есть "теория полей", и слово "поле" в алгебраическом смысле - оно вообще никакого отношения к скалярным и векторным полям не имеет.