Вычислить предел

[netang]

Здравствуйте. Правильно ли я вычислил предел? Если нет, подскажите где я ошибся?
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[(a+\frac{1}{n})^2 + (a+\frac{2}{n})^2+ ... + (a+\frac{n-1}{n})^2] =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[a^2 + \frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}+a^2+\frac{4a}{n^2}+\frac{4}{n^2}+ ... + a^2+\frac{2a(n-1)}{n}+(\frac{n-1}{n})^2] = \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{...}{n} = a^2$

[ИСН]

Про интегральные суммы слышали когда-нибудь, например?

[ET]

По-моему, у вас монотоннно возрастающая последовательность, каждый член которой больше $a^2$ Тогда предел просто не может быть $a^2$

[ewert]

netang в сообщении #1012409 писал(а):

где я ошибся?

Здесь:

netang в сообщении #1012409 писал(а):

$= \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{...}{n}$

Во-первых, непонятно, что здесь написано. Во-вторых, это ничем не обосновано. В-третьих, в любом случае неверно.

[1r0pb]

netang как будет выглядеть интегральная сумма для $f(x)=(1+x)^2$ на $[0;1]$, например?

[bot]

Интегральные суммы - это сложно, почти непостижимо. А если аккуратно и подробно рассмотреть одно Ваше спагаемое?

netang в сообщении #1012409 писал(а):

$\frac{...}{n}$

Не слишком ли лихо Вы это в нуль отправили?

[netang]

Я знал ответ чужого решения, ответ был $a^2+a+\frac{1}{3}$, но у меня возникали сомнения при виде $\frac{1}{3}$.

bot в сообщении #1012537 писал(а):

Не слишком ли лихо Вы это в нуль отправили?

Спасибо за подсказку! Рассмотрев получше эту часть выражения и, применив формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и формулу суммы квадратов первых n натуральных чисел, я получил:
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[(a+\frac{1}{n})^2 + (a+\frac{2}{n})^2+ ... + (a+\frac{n-1}{n})^2] =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}[a^2 + \frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}+a^2+\frac{4a}{n}+\frac{4}{n^2}+ ... + a^2+\frac{2a(n-1)}{n}+(\frac{n-1}{n})^2] = \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{(2+4+ ... + 2(n-1))a}{n^2} + \frac{1+4+...+(n-1)^2}{n^3} = \lim_{n\to\infty} \frac{a^2 (n-1)}{n} + \frac{(n^2-n)a}{n^2} + \frac{2n^3-n^2-2n^2-n}{6n^3} = a^2+a+\frac{1}{3}$

Всем отписавшимся спасибо за подсказки

[bot]

Ну а теперь может быть попробуете через интегральную сумму? Какую функцию надо взять и на каком интервале, чтобы эта сумма стала для неё интегральной?

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1012787 писал(а):

Какую функцию надо взять и на каком интервале, чтобы эта сумма стала для неё интегральной?

Она, кстати, не станет для неё интегральной, строго говоря. Навеяно сомнительной (пусть и формально верной; для $a>0$, во всяком случае) репликой

ET в сообщении #1012415 писал(а):

По-моему, у вас монотоннно возрастающая последовательность,

[bot]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1012956 писал(а):

Она, кстати, не станет для неё интегральной

Не понял.

-- Вс май 10, 2015 08:49:48 --

(Оффтоп)

А, ну да, с точностью до одного слагаемого