Имхо, в задаче ТС должен быть ещё задан "закон дисперсии" - зависимость частоты от волнового вектора:

Самая простая задачка получается в случае линейной зависимости:

где

- постоянный коэффициент пропорциональности с размерностью скорости (т.е. просто заданная постоянная фазовая скорость волн, и она же совпадает с групповой скоростью

)
Тогда исходный интеграл по

для волнового пакета

элементарно берётся. (А при нелинейном законе дисперсии

было бы сложнее - пришлось бы разлагать частоту в ряд по степеням

и, ограничиваясь линейным приближением, вычислять пакет приближённо; в итоге получается по форме такой же как ниже ответ (но приближённый), в котором роль

играет величина

в точке

называемая групповой скоростью.)
И тогда имеем:

, где

- нормировочная постоянная.
Эта функция - чётная функция аргумента

поэтому удобно сначала вместо

вычислить

- ведь это среднее с очевидностью будет равно нулю, т.к. под знаком интеграла по

с бесконечными пределами можно будет перейти к интегрированию по

и интеграл окажется равным нулю, как интеграл с симметричными пределами от нечётной функции:

.
Из равенства

следует, что

,
т.е. волновой пакет движется со скоростью

.
Хорошо, а как найти неопределённость

? Ответ зависит от того, как определить эту самую "неопределённость". Если исходить из формулы среднего квадратичного отклонения (у ТС в ней опечатка: под корнем должен быть минус, а не плюс):

,
то, к сожалению, получаем расходящийся интеграл:

.
А если исходить из "физических соображений", заключающихся в том, что график функции

на оси переменной

имеет явно видимую глазом "ширину", - он выглядит как кривая с большим главным максимумом, и с убывающими по величине невысокими "боковиками", отделёнными от главного максимума узлами (точками обращения функции

в ноль), - то можно определить "ширину пакета"

как расстояние между ближайшими точками обращения пакета в ноль по обе стороны от главного максимума. При таком определении неопределённости координаты

имеем, поскольку синус обращается в ноль при значениях своего аргумента, равных

и

:

.