2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни уравнения 4-й степени
Сообщение06.05.2015, 11:25 


02/11/11
1265
Имеется уравнение 4-й степени вида $x^4+p x^2+ q x+r=0$ и некоторое положительное действительное число $t$.
Требуется определить, является ли $t$ числом, большим, чем наибольший действительный корень вышеприведенного уравнения.
Существует ли алгоритм, позволяющий это выяснить без явного вычисления корней уравнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение06.05.2015, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Теорема Штурма же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение07.05.2015, 09:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
Если я правильно понял, то подойдёт любой численный метод вычисления максимального корня многочлена с достаточной точностью и сравнения с $t$. Поскольку формула Феррари не используется, то явное вычисление корней уравнения отсутствует. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение07.05.2015, 10:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3979
МФТИ ФУПМ
Можно нахаляву оценить действительные корни сверху:
$x_i \leq 1+\sqrt[m]{n}$, где $n$ — максимум из модулей отрицательных коэффициентов, а $m$ — номер первого из отрицательных коэффициентов (начиная с третьей степени, т. е. если $p$ отрицателен, то $m=2$, если $p$ положителен, а $q$ отрицателен, то $m=3$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение07.05.2015, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
И вот тогда, чтобы понять, есть ли корни между $t$ и этой оценкой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение07.05.2015, 16:53 


02/11/11
1265
ИСН в сообщении #1011721 писал(а):
Теорема Штурма же.

Спасибо. На первый взгляд довольно сложно. Я считал, что будет не слишком сложнее той же задачи только для квадратного трехчлена$f(x)=a x^2+b x+c$, где достаточно выполнения трех простых условий: $D\geqslant0$, $a\cdot f(t)>0$ и $-\frac{b}{2a}<t$, где $D$ - дискриминант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни уравнения 4-й степени
Сообщение07.05.2015, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Я как увидел, что у Вас многочлен степени выше 2, то дальше в детали не вникал. Так-то в частном случае может быть и попроще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group