Вывод формулы центростремительного ускорения

[Fennec]

Привет, человеки!

Я взялся за самостоятельное изучение физики по учебнику товарищей Бутикова и Кондратьева.

Столкнулся со сложностью в доказательстве формулы для центростремительного ускорения (я нашел в интернете более простое доказательство через подобие треугольников, но все же хотел бы разобраться и этим).

Текст в учебнике приведен примерно следующий:

Цитата:

Модуль скорости частицы равен отношению длины окружности $2\pi R$ к периоду вращения $T$:

$v=\frac {2\pi R} {T$}.

Аналогичное соотношение, естественно, связывает модуль ускорения $a$ с радиусом годографа скорости $v$:

$a= \frac{2 \pi v}{T}$ .

Сравнивая эти формулы, получаем

$a=\frac{v^2}{R}$

Вот тут меня захлестнула волна полнейшего непонимания. Что значит "сравнивая эти формулы" ? Нужно произвести какую-то определенную математическую операцию которую я не знаю? Просто доставить формулу для линейной скорости в в формулу для ускорения не дает такого результата. Как из двух первых формул получить последнюю? Что за действия пропущены?

[Pulseofmalstrem]

Fennec
Эм, а если просто выразить период и подставить.

[Fennec]

Pulseofmalstrem,

..., я жестко тупанул ( Спасибо большое, что подсказали на что обратить внимание.

Pphantom:

Пожалуйста, выбирайте выражения.

[rustot]

По моему наиболее наглядно получится если дважды продифферинцировать уравнения $x = r \sin w t, y = r\cos w t$, сразу видны и величина ускорения и куда оно направлено

[Munin]

Fennec в сообщении #1011599 писал(а):

Вот тут меня захлестнула волна полнейшего непонимания. Что значит "сравнивая эти формулы" ? Нужно произвести какую-то определенную математическую операцию которую я не знаю?

Эта операция такая:
1. Сведём эти формулы в систему уравнений.
2. Из этой системы уравнений выразим $a$ как неизвестное.
Неформально - так.

[zer0]

Имхо, лучше через треугольники. А так надо знать формулы для годографа или синусов и чем тогда эти формулы лучше формулы ускорения?

[arseniiv]

По-моему, знать формулы «для синусов» как раз крайне полезно. Что это за рассмотрение движения, которое не знаешь как будет в координатах?* Присоединяюсь к rustot.

* Ну, не обязательно в координатах — лучше оперировать векторами. Но тут-то ни того, ни того. На одних модулях далеко не уедешь.

-- Пн май 11, 2015 21:21:53 --

В векторах будет $\mathbf r = R(\omega t)\mathbf r_0$, где $R(\alpha)$ — оператор поворота на $\alpha$. Легко найти правила дифференцирования таких штучек:

$$\mathbf v = \frac d{dt}\mathbf r = \frac d{dt}(R(\omega t))\mathbf r_0 + R(\omega t)\underbrace{\frac d{dt}\mathbf r_0}_0 = \omega R(\omega t + \pi/2)\mathbf r_0,$$

если знать $\frac d{d\alpha}R(\alpha) = R(\alpha + \pi/2)$, что можно видеть, например, из координат $R$. Таким образом,

$$\mathbf a = \frac{d^2}{dt^2}\mathbf r = -\omega^2\mathbf r,$$

т. к. $R(\alpha+\pi) = -R(\alpha)$. Для вычисления модулей всего этого безобразия достаточно знать естественное $\left\lvert R(\alpha)\mathbf u\right\rvert = \lvert\mathbf u\rvert$.

[fronnya]

arseniiv, ТС, судя по всему, школьник (ну от вышмата далековат, наверняка). Ему эти операторы поворота.. Это ведь, если не ошибаюсь, в теор. механике на втором курсе вводят, операторные методы там всякие.

[arseniiv]

В любом случае лень работать с векторами целиком, а не отдельно с их модулями и отдельно с их «взаимным расположением» неоправдана. Это же действительно очень узко применимый подход, ещё и вынуждающий решать однотипные задачи по-разному. Притом проекции вектора на ось — вещь школьная. И координаты, соответственно, тоже. Матрицам только не повезло.

-- Пт май 15, 2015 22:43:17 --

(Потом, надо же мне где-то было набрать ту красоту? )

[rustot]

Ну обычные то производные то надо уметь брать, $a_x = \frac{d^2}{dt^2} x(t) = \frac{d^2}{dt^2} r \sin(w t) = - r w^2 \sin(w t) = -w^2 x$. Без этого все связанное с ускорениями остается только заучивать как набор феноменов

[Munin]

rustot
Писать $w$ вместо $\omega$ некрасиво.

[fronnya]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1015684 писал(а):

(Потом, надо же мне где-то было набрать ту красоту? )

так вы бы еще диады куда-нибудь прикрутили, совсем красота бы вышла

[arseniiv]

(Оффтоп)

Хм, а зачем из пушки-то?

[Skeptic]

Fennec в сообщении #1011599 писал(а):

Вот тут меня захлестнула волна полнейшего непонимания. Что значит "сравнивая эти формулы" ? Нужно произвести какую-то определенную математическую операцию которую я не знаю? Просто доставить формулу для линейной скорости в в формулу для ускорения не дает такого результата. Как из двух первых формул получить последнюю? Что за действия пропущены?

Почему не даёт результата?
Из $v=\frac {2\pi R} {T$} получаем $T=\frac {2\pi R} {v$} и подставляем $T$ в $a= \frac{2 \pi v}{T}$. Имеем $a= \frac{2 \pi v}{\frac {2\pi R} {v}}=\frac{v^2}{R}$.
Это и есть сравнение формул.

Pphantom:

Не надо цитировать сверх необходимого. Лишнее я стер.

[zer0]

Skeptic в сообщении #1015881 писал(а):

Почему не даёт результата?

Fennec в сообщении #1011603 писал(а):

Pulseofmalstrem,
я жестко тупанул ( Спасибо большое, что подсказали на что обратить внимание.

Зачем объяснять ТС то, что он и так понял?