Несколько вопросов из области кинематики

[Atom001]

Здравствуйте!
Я тут на досуге решил "построить" теорию, описывающею движение любой сложности. :)
И в процессе, у меня возникли вопросы.

1) Я начал с вывода уравнения координаты для прямолинейного движения в одномерном пространстве. Проверьте, пожалуйста, правильно ли всё?

Я получил такое уравнение

$$_^{n}x(t)=x_0 + v_0t + \frac{a_0t^2}{2} + \frac{_{2}^{}a_0t^3}{6} + \frac{_{3}^{ }a_0t^4}{24} + \cdot\cdot\cdot + \frac{_{n}^{ }a_0t^{n+1}}{n!}$$

Где $_{}^{n}x(t)$ — координата при прямолинейном движении (1D) с постоянным ненулевым $_{n}^{ }a_0$, если $_{m}^{ }a_0=0$, при $m>n$.
А $_{p}^{ }a_0$ при $p \in [1; n-1]$ - начальное значение соответствующего n-го ускорения.

Я нашёл это уравнение по индукции, поэтому приводить решение не буду. Я думаю, что многие смогут подтвердить (или опровергнуть) правильность уравнения, просто посмотрев на него.

2) Потом я стал искать уравнение координаты (например, иксовой) при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью.
Если точка покоится, то всё просто: $x(t)=x_0 $.
А вот если она уже движется, то $x(t)=x_0 + \int {v_x(t)dt} = \int {v\cos{\alpha(t)}dt}$.
Но здесь я встал в тупик, потому что не могу найти зависимость угла от времени. Её можно найти?

3) Так как я не смог найти $\alpha(t)$, то решил взяться за формулу $v^2=aR$. Я сделал так: ${\dot{a}}^2=aR \Rightarrow a=\frac{1}{R}$. Подозреваю, что моя формула не верна. Это так? И если так, то где я ошибся?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Пургаторий (Ф)»
Причина переноса: наверное, в Карантине (из-за неправильного набора формул) можно не задерживаться.

[Munin]

Ну, при том, что идея выглядит достаточно "бредово", она тем не менее - не из той же серии, что "альтернативщина". Это, скорее, типичные рассуждения ученика, осваивающего стандартную теорию, и обдумывающего открывающиеся дали. Так что, ответить я постараюсь со всем уважением, хотя дискутировать не собираюсь.

Atom001 в сообщении #1011492 писал(а):

Я тут на досуге решил "построить" теорию, описывающею движение любой сложности. :)

Она и так уже есть. Называется механика (причём вы пока не вышли даже за рамки кинематики). Просто вам надо посмотреть не то, что написано в школьных учебниках, а то, что написано в вузовских.

Предлагаю для начала.
1. Одно из двух:

Яворский, Детлаф. Справочник по физике. Издание не позже 1985!!!
Фейнмановские лекции по физике. Том 1.

2. Математический анализ. Например, одно из двух:

Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1.
Ильин, Позняк. Основы математического анализа. Том 1.

3. Матвеев или Савельев или Сивухин или Иродов. Механика.
4. При большом желании сильно углубиться:

Савельев. Основы теоретической физики. Том 1.
Ландау, Лифшиц. Механика. [Теоретическая физика. Том 1.]

Atom001 в сообщении #1011492 писал(а):

1) Я начал с вывода уравнения координаты для прямолинейного движения в одномерном пространстве. Проверьте, пожалуйста, правильно ли всё?

Я получил такое уравнение

$$_{}^{n}x(t)=x_0 + v_0t + \frac{a_0t^2}{2} + \frac{_{2}^{}a_0t^3}{6} + \frac{_{3}^{ }a_0t^4}{24} + \cdot\cdot\cdot + \frac{_{n}^{ }a_0t^{n+1}}{n!}$$

Где $_{}^{n}x(t)$ — координата при прямолинейном движении (1D) с постоянным ненулевым $_{n}^{ }a_0$, если $_{m}^{ }a_0=0$, при $m>n$.
А $_{p}^{ }a_0$ при $p \in [1; n-1]$ - начальное значение соответствующего n-го ускорения.

Я нашёл это уравнение по индукции, поэтому приводить решение не буду. Я думаю, что многие смогут подтвердить (или опровергнуть) правильность уравнения, просто посмотрев на него.

Это уравнение - вы его "переоткрыли" самостоятельно - называется разложением Тейлора, или рядом Тейлора (точнее, оборванной на $n+1$ членах частичной суммой этого ряда).

Но всё сложнее. Во-первых, эта сумма может быть бесконечно длинной. Уже здесь вас подстерегают опасности, потому что складывать бесконечные суммы не так-то просто. Например, для простейшего колебательного движения

$$x(t)=A\sin\omega t=A\omega t-\dfrac{A\omega^3 t^3}{3!}+\dfrac{A\omega^5 t^5}{5!}-\dfrac{A\omega^7 t^7}{7!}+\dfrac{A\omega^9 t^9}{9!}-\ldots$$

Во-вторых, как говорится, есть нюанс. Многие движения - многие функции - действительно можно представить в таком виде. И в физике такие функции встречаются довольно часто, особенно в простых учебных задачах. Но встречаются и функции, которые в таком виде представить нельзя вообще (или, до какого-то момента времени такое представление работает, а потом - не работает). Я приведу пример такой функции, её можно записать формулой:

$$x(t)=L\cdot e^{\raisebox{\depth}{\(-\tfrac{T^2}{t^2}\)}},$$

где $L$ и $T$ - две постоянные величины, размерности длины и времени (так что $L$ измеряется в метрах, а $T$ - в секундах).

Atom001 в сообщении #1011492 писал(а):

2) Потом я стал искать уравнение координаты (например, иксовой) при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью.
Если точка покоится, то всё просто: $x(t)=x_0 $.
А вот если она уже движется, то $x(t)=x_0 + \int {v_x(t)dt} = \int {v\cos{\alpha(t)}dt}$.
Но здесь я встал в тупик, потому что не могу найти зависимость угла от времени. Её можно найти?

Конечно. Поскольку скорость постоянна по модулю, то длина пройденной дуги $l=vt.$ По длине дуги можно найти и угол: $\alpha=l/R=\tfrac{v}{R}t=\omega t=2\pi\nu t,$ где $\omega$ называют угловой скоростью (измеряется в радианах в секунду, или можно в градусах в секунду, если не забывать переводить в радианы), или в случае колебательного движения - циклической частотой. А $\nu$ - просто частотой (иногда используется ещё буква $f$). Вот у вас и есть зависимость угла от времени, она линейная. И

$$x(t)=\int v\cos\left(\dfrac{v}{R}t\right)dt.$$

И надеюсь, вы сможете взять этот интеграл, он табличный.

Atom001 в сообщении #1011492 писал(а):

3) Так как я не смог найти $\alpha(t)$, то решил взяться за формулу $v^2=aR$. Я сделал так: ${\dot{a}}^2=aR \Rightarrow a=\frac{1}{R}$. Подозреваю, что моя формула не верна. Это так? И если так, то где я ошибся?

Да, она неверна, хотя бы по размерности. Ошиблись вы сразу в нескольких местах.
Во-первых, не туда поставили производную. Не $\vec{v}=\dot{\vec{a}},$ а наоборот, $\vec{a}=\dot{\vec{v}}.$
Во-вторых, соотношения с производными - верны для векторных функций. А если вы снимаете значок вектора со скорости или с ускорения, то вы тем самым переходите к модулю вектора. И эти соотношения становятся неверны.

Тут, на самом деле, нужно напрактиковаться работать с формулами такого типа. Этому посвящено примерно 1-2 года на младших курсах вуза, в курсе матанализа.

Вам пока проще использовать готовые формулы (или посмотреть, как их выводят для простейших случаев в учебниках типа школьных, Яворского-Детлафа или Фейнмана). В частности, для равномерного движения по окружности $a=\tfrac{v^2}{R}=\omega^2 R=v\omega.$

[arseniiv]

Munin в сообщении #1011525 писал(а):

И надеюсь, вы сможете взять этот интеграл, он табличный.

Хм, а зачем вообще брать интегралы (понимаю — первым, конечно, ТС начал), если допустить, что мы знаем смысл косинусов-синусов — это натуральная параметризация единичной окружности. Масштабированием получаем натуральную параметризацию любой окружности. Останется только подвигать её так, чтобы сделать $\vec r(t=0)$ и $\vec v(0)$ какими надо (и направление ускорения пофиксить отражением) — довольно линейные уравнения должны быть.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1011597 писал(а):

понимаю — первым, конечно, ТС начал

Да вот именно: я пытался оставаться в линии, указанной его намерениями. Может быть, угадал не всё и не совсем.