Нехорошая сходимость в эль-бесконечность

[AGu]

(1) Существуют такие $x_n\in\ell^\infty$, что $\sup_{n\in\mathbb N}\|x_n\|<\infty$ и $x_n(i)\to0$ для всех $i\in\mathbb N$, но $x_n\nrightarrow0$ слабо.
(2) Существуют такие $x_n\in\ell^\infty$ и $x\in\ell^\infty$, что $\|x_n\|\to\|x\|$ и $x_n(i)\to x(i)$ для всех $i\in\mathbb N$, но $x_n\nrightarrow x$ слабо.

P.S. Здесь $\ell^\infty$ — пространство ограниченных числовых последовательностей, снабженное равномерной нормой.

[NSKuber]

Я снова смухлевал, поэтому опять под спойлер.

(Оффтоп)

Надо найти последовательность векторов и функционал, которые удовлетворяют обеим частям утверждения. После непродолжительных раздумий было выяснено, что, например, функционалы вида "умножение на сходящийся абсолютно ряд" (вложение $l^1$ в $(l^{\infty})'$) не проходят - для них из левой части (1) следует сходимость $f(x_n)$ к нулю. Значит надо что-то нетривиальное.
Нетривиальный функционал! Есть такой (см., например, лекции автора), который орты переводит в ноль, а единичный вектор - в единицу. Обозначим его $f$. Ну а дальше дело за малым:
(1) $x_n=x-\sum\limits_{k=1}^{n}e_k$, где $x$ - последовательность из единиц, $e_k$ - орт.
Эта последовательность равномерно ограничена по норме и сходится покоординатно к нулю, но $f(x_n)=f(x)=1$ для всех $n$.
(2) $x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}e_k$.
$\|x_n\|=1=\|x\|$, $x_n$ покоординатно сходится к $x$, но $f(x_n)=0\ne 1=f(x)$ $\forall n$

Надеюсь, у задачи есть менее нетривиальное решение

[AGu]

NSKuber, Вы молодец.

(Оффтоп)

Но вот эти Ваши $e_n$ ни в какие ворота не лезут. Туда могут пролезть только $e_k$.