Не очень сходящийся ряд

[AGu]

Пусть $X$ — нормированное пространство, $x_n\in X$.

Говорят, что $x\in X$ является суммой семейства $(x_n)_{n\in\mathbb N}$, и пишут $\sum\limits_{n\in\mathbb N}x_n=x$ , если сеть частичных сумм $\Bigl(\,\sum\limits_{n\in N}x_n\Bigr)_{N\in\mathcal P_{\rm fin}(\mathbb N)}$ сходится к $x$, т.е. для любого $\varepsilon>0$ найдется такое конечное подмножество $N_0\subset\mathbb N$, что $\Bigl\|x-\sum\limits_{n\in N}x_n\Bigr\|<\varepsilon$ для всех конечных $N_0\subseteq N\subset\mathbb N$. $\Big($Отметим, что из $\sum\limits_{n\in\mathbb N}x_n=x$ следует $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n=x$.$\Big)$

Семейство $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ называется суммируемым, если $\sum\limits_{n\in\mathbb N}x_n=x$ для некоторого $x\in X$.

Существует ли суммируемое семейство $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ в каком-нибудь банаховом пространстве такое, что $\sum\limits_{n=1}^\infty\|x_n\|=\infty$ ?

[NSKuber]

$x_n=\frac{1}{n}e_n$, где $e_n$ - орт в пространстве $\ell^2(\mathbb{N})$?

$\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}^{}x_n=x=(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},..., \frac{1}{n},...)$, но $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\|x_n\|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty$.

[AGu]

NSKuber, Вы правы счетное число раз. Все сходится. Абсолютно.