Компактность в конечномерных пространствах

[Grabovskiy]

Вопрос, наверное, тривиальный, но все-таки хотелось бы уяснить.

Вот имеется такой факт, что в пространстве $ \mathbb{R}^n $ всякое ограниченное и замкнутое множество компактно. Интересует следующее: верно ли это для произвольного конечномерного векторного пространства? И если да, то как это показать?
Вроде как в доказательстве для случая $ \mathbb{R}^n $ не используются никакие свойства, присущие векторному пространству, а используются только свойства метрические.

[oniksofers]

Grabovskiy в сообщении #1010982 писал(а):

Вопрос, наверное, тривиальный, но все-таки хотелось бы уяснить.

Вот имеется такой факт, что в пространстве $ \mathbb{R}^n $ всякое ограниченное и замкнутое множество компактно. Интересует следующее: верно ли это для произвольного конечномерного векторного пространства? И если да, то как это показать?
Вроде как в доказательстве для случая $ \mathbb{R}^n $ не используются никакие свойства, присущие векторному пространству, а используются только свойства метрические.

Произвольное конечномерное(размерности n) векторное пространство над полем $ \mathbb{R}$ изоморфно $ \mathbb{R}^n $, вероятно из этого факта следует, то что ограниченное и замкнутое множество компактно.

[ewert]

Grabovskiy в сообщении #1010982 писал(а):

Вроде как в доказательстве для случая $ \mathbb{R}^n $ не используются никакие свойства, присущие векторному пространству, а используются только свойства метрические.

Используются. Там в любом варианте д-ва используется что-нибудь типа деления пополам, а оно до бесконечности продолжаться не сможет, ибо зациклится.

[demolishka]

oniksofers в сообщении #1010995 писал(а):

Произвольное конечномерное(размерности n) векторное пространство над полем $ \mathbb{R}$ изоморфно $ \mathbb{R}^n $, вероятно из этого факта следует, то что ограниченное и замкнутое множество компактно.

Смотря что понимать под "изоморфно"
Для стандартного изоморфизма $T: \mathbb{R}^n \to V$ также выполняются неравенства $A\|x\| \leq \|Tx\| \leq B\|x\|$, где $x \in \mathbb{R}^n$ и $A,B>0$. Отсюда видно, что $T$ гомеоморфизм. Это значит, что набор компактных подмножеств у $V$ и $\mathbb{R}^n$ совпадает. И замкнутые и ограниченные переходят в замкнутые и ограниченные.

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1010982 писал(а):

Вопрос, наверное, тривиальный, но все-таки хотелось бы уяснить.

Вот имеется такой факт, что в пространстве $ \mathbb{R}^n $ всякое ограниченное и замкнутое множество компактно. Интересует следующее: верно ли это для произвольного конечномерного векторного пространства? И если да, то как это показать?
...

Не лучше ли начать подобное обсуждение с вопроса: "какая топология введена в "произвольном конечномерном векторном пространстве"?

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1011204 писал(а):

Не лучше ли начать подобное обсуждение с вопроса: "какая топология введена в "произвольном конечномерном векторном пространстве"?

Прошу прощения, конечно же в нормированном пространстве. Топология индуцирована нормой.

Но уже разобрался. Я понимал, что нужно просто взять изоморфизм векторных пространств и показать, что он является гомеоморфизмом. Но так как изоморфизм векторных пространств сохраняет, собственно, их алгебраические свойства, а гомеоморфизм -- топологические, то я не мог понять, где вообще заложена связь алгебраических свойств с топологическими. А эта связь находится в самом определении нормы.

Большое спасибо за ответы.