Размерность и ранг.

[AchilleS]

Здравствуйте! Есть вопрос по размерности линейной оболочки и рангу матрицы.
Насколько я понял, размерность линейной оболочки есть кол-во векторов в ее базисе, в то время как ранг матрицы есть максимальное кол-во линейно независимых векторов => Размерность=ранг. " Размерность линейной оболочки L(E) равна рангу системы E (ранг системы - максимальное число ее линейно независимых векторов): dim L(E) = r(E)" - нашел в нете.
Однако встречаю следующие примеры:

Дана однородная система лин. уравнений с n неизвестными.
И идет объяснение: размерность линейного пространства равна числу элементов ФСР = n-r, где r - ранг матрицы. Вот!

Предположим, система из 2 уравнений с 5 неизвестными. ФСР содержит 3 элемента - размерность равна 3, ранг равен 2. (5-2=3). Тогда почему ранг равен размерности?
-------------

Заранее спасибо!

[Brukvalub]

AchilleS писал(а):

Дана однородная система лин. уравнений с n неизвестными.
И идет объяснение: размерность линейного пространства равна числу элементов ФСР = n-r, где r - ранг матрицы. Вот!

Здесь идёт речь о размерности пространства решений, а не о размерности линейной оболочки строк матрицы системы. Это разные линейные пространства!










э

[ИСН]

Ключевой вопрос - чья это размерность и чей ранг. В этом пространстве с размерностью 3 выберите базис (3 вектора), запишите их друг над другом, вот и будет Вам матрица 3 ранга...

[AchilleS]

С этим понятно, но тогда в каком случае размерность равна рангу? В определении написано, "размерн. равна рангу системы". Какой системы?

Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд:

ааа, я понял, то есть, если векторы независимы (т.е. это базис), то и ранг матрицы, составленной из этих векторов, равен размерности, т.е. кол-ву этих векторов. Так?

[Brukvalub]

Строки матрицы являются векторами арифметического пространства. Размерность линейной оболочки строк равна рангу матрицы из этих строк. То же самое верно для столбцов матрицы.

[AchilleS]

Все понял, спасибо!