Решение ОДУ через специальные функции

[Darts501]

Помогите решить дифференциальное уравнение

$$x^2y''(x)+xy'(x)+\left(\lambda\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}-n^2\right)=0$$

где $n=0,1,2...$, а $\lambda$-вещественный параметр. Я знаю только что есть какой-то класс дифференциальных уравнений (у всех у них какая-то схожая структура) которые решаются через специальные функции, к ним, в частности, относится уравнение $x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0$, решением которого являются функции Бесселя. Вообщем это уравнение как-то приводится к одному из них. Посоветуйте к какому уравнению, которое решается через спец функции, можно свести данное или где об этом можно почитать.

[svv]

В третьем слагаемом ещё множитель $y(x)$.

[galoperidol]

Присоединюсь про опечатку.
Далее, смотрим на особые точки.
$x=0$ регулярная особая точка (подробно тут: https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_singular_point),
трансформацией $\omega=\frac{1}{x}$ и дальнейшим исследованием полученного уравнения в точке $\omega=0$ (соответствующей точке $x=\infty$ у исходного) устанавливается, что $x=\infty$ также регулярная особая точка (а у упомянутого вами Бесселя она иррегулярная).
Кстати я могу ошибиться, время позднее, лучше проверьте сами. И похоже, что преобразование $x=1/\omega$ переводит уравнение само в себя.

[Darts501]

Да в третьем слагаемом пропущен множитель $y(x)$, в итоге надо решить такое уравнение

$$x^2y''(x)+xy'(x)+\left(\lambda\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}-n^2\right)y(x)=0$$

Да Бессель не подходит. Я просто указал, что есть какая-то совокупность видов дифференциальных уравнений со схожей структурой, которые решаются с помощью спец функций, к ней относится класс диф уравнений, решаемых функциями Бесселя. А это уравнение какой-то заменой сводится к к какому-то уравнению из этой совокупности, но к какому я не знаю. Вообще это уравнение возникает при нахождение спектра оператора Лапласа-Бельтрами на плоскости Лобачевского в модели единичного круга.

[Ms-dos4]

Darts501
Попробуйте поиграть с чем то типа замены $\[{x^2} = \frac{{\xi + 1}}{{\xi - 1}}\]$. Она приводит к уравнению, $\[(1 - {\xi ^2})y'' + y' + ( - \lambda - \frac{{{n^2}}}{{1 - {\xi ^2}}})y = 0\]$, которое в общем то близко к уравнению присоединенных многочленов Лежандра (а я уже надеялся, что и приведёт, если конечно не ошибся нигде).

[arseniiv]

Mathematica выводит что-то страшное с корнями-степенями и гипергеометрическими функциями:

$$\begin{array}{c} (-1)^n x \lvert x\rvert^{-(n+1)} \left(x^2-1\right)^{\frac12 \left(\sqrt{1-4\lambda}+1\right)} \times \\ \times\left((-1)^n x^{2n} C_1 \, {}_2F_1\left(\frac12 \left(\sqrt{1-4 \lambda}+1\right),\frac{1}{2} \left(1+2n+\sqrt{1-4 \lambda}\right);1+n;x^2\right) \right. + \\ + \left. C_2 \, {}_2F_1\left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{1-4 \lambda}+1\right),\frac{1}{2} \left(1-2n+\sqrt{1-4 \lambda}\right);1-n;x^2 \right) \right) \end{array}$$

Может быть, эти гипергеометрические с учётом того, что $n$ — целое, превращаются во что-то более приземлённое, но я добиться этого в M. не смог. Но хотя бы отсюда можно извлечь намёк, как свести уравнение к уравнению на ${}_2F_1(a,b;c;t)$.