Тригонометрия и неравенства

[Oops]

Здравствуйте.

Не знаю с чего начать решение
$ \sin{7x} \cos{x} = \sin{6x} $
Меня смущают такие разные аргументы...

И вот еще не знаю, как начать решать
$ \frac {\left| 2 - x \right| - x} {\left| x - 3 \right| - 1} \leqslant 2 $

Подскажите, если не трудно.

[Алексей К.]

Формулки такие есть типа $\sin a \sin b =\ldots$, $\cos a \cos b =\ldots$; в частности,

$$\sin a \cos b =\frac{1}{2}[\sin(a-b)+\sin(a+b)].$$

Может, поможет (подсказываю не убедившись в этом, честно говоря)?

[Oops]

Блин, а я такие нигде не видел

Огромное спасибо

[Алексей К.]

А по второму вопросу иногда так подсказывал (школьникам): а не поленись, поподставляй всякие числа, $x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,2.4,2.8,3,4,5,6,7,8,9$, посмотри чего получится.
Тогда он или сам догадывался --- порешать отдельно для $x\ge3$, отдельно для $2\le x\le 3$, отдельно для $x\le 2$, или лучше понимал последующее объяснение.

Ленивый школьник (их большинство, по-моему) отказывался от этого утомительного упражнения, ему приходилось объяснять сразу, что и как, как-то решалось, но назавтра он всё это забывал.

[Oops]

x = -10: 1.83333333333 Y!
x = -9: 1.81818181818 Y!
x = -8: 1.8 Y!
x = -7: 1.77777777778 Y!
x = -6: 1.75 Y!
x = -5: 1.71428571429 Y!
x = -4: 1.66666666667 Y!
x = -3: 1.6 Y!
x = -2: 1.5 Y!
x = -1: 1.33333333333 Y!
x = 0: 1 Y!
x = 1: 0 Y!
x = 2:
x = 3: 2 Y!
x = 4:
x = 5: -2 Y!
x = 6: -1 Y!
x = 7: -0.666666666667 Y!
x = 8: -0.5 Y!
x = 9: -0.4 Y!

[Алексей К.]

Да уж...
Ну? И мы заметили, что, например в одних случаях $|x-3|$ работает как $(x-3)$, в других --- как $(3-x)$? То же с $|2-x|$ (в соответствии с определением функции $y=|x|$ в учебнике). Т.е. если бы мы решали эту задачку для больших чисел --- больше 10, например, то мы бы смело заменили данное неравенство на

$$\frac {(x-2) - x} {( x - 3 ) - 1} \leqslant 2 $$

.

[Oops]

Да, это ясно.

Вот это неравенство эквивалетно
$ \left| x - 2 \right| - x \leqslant 2 (\left| x - 3 \right| - 1) $?

[venja]

Алексей К. писал(а):

Oops писал(а):

$ \frac {\left| 2 - x \right| - x} {\left| x - 3 \right| - 1} \leqslant 2 $

Да уж...
Ну? И мы заметили, что, например в одних случаях $|x-3|$ работает как $(x-3)$, в других --- как $(3-x)$? То же с $|2-x|$ (в соответствии с определением функции $y=|x|$ в учебнике). Т.е. если бы мы решали эту задачку для больших чисел --- больше 10, например, то мы бы смело заменили данное неравенство на

$$\frac {(x-2) - x} {( x - 3 ) - 1} \leqslant 2 $$

.
(Допишу сюда же чуть попозже).

Что-то уж больно издалека
Пример стандартный, метод решения тоже.

[Алексей К.]

Нет. Исходное неравенство не эквивалетно этому:
$ \left| x - 2 \right| - x \leqslant 2 (\left| x - 3 \right| - 1) $?
Возьмите $x=3$ и убедитесь.

Кстати, Вы зря себе усложняете жизнь, пися столь сложный код:

$ \left| x - 2 \right| - x \leqslant 2 (\left| x - 3 \right| - 1) $

Достаточно

$ | x - 2| - x \le 2 (| x - 3| - 1) $

\left| и \right| используются, когда надо размер ограничителей подобрать. Сравните:

$|\frac{x+y}{x-y}|$  и $\left|\frac{x+y}{x-y}\right|$

$|\frac{x+y}{x-y}|$ и $\left|\frac{x+y}{x-y}\right|$

$[\int\limits_0^1 f(x)dx]$  и $\left[\int\limits_0^1 f(x)dx\right]$ 

$[\int\limits_0^1 f(x)dx]$ и $\left[\int\limits_0^1 f(x)dx\right]$

Так что на самом деле Вам задали 3 неравенства.
Его надо переписать в одном виде для $x\ge3$, в другом --- для $2\le x\le 3$, в третьем --- для $x\le 2$.
Решая каждое, не забывать в каком диапазоне Ваши числа лежат, и например, что, может, знаменатель всегда положителен (отрицателен), и если Вы решали, например, для $x\ge3$, а получили $x<-10$, то такие ответы надо выкинуть...

[Oops]

Ясно, спасибо

[Алексей К.]

venja писал(а):

Что-то уж больно издалека
Пример стандартный, метод решения тоже.

Издалека приходится, когда собеседника не знаешь. Может, действительно, стоило по-быстрому. Просто есть некий опыт живого общения по таким поводам, и там было легче выбрать способ объяснения --- изблизи или издалека. Запоминать десятки стандартных методов? Понять, откуда метод нарисовался?

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

Oops писал(а):

Ясно, спасибо

Решеньице вкратце приведите потом... А то Ваш вопросик про эквивалентность подозрителен...

Добавлено спустя 11 минут 45 секунд:

Oops писал(а):

Вот это неравенство эквивалетно
$ \left| x - 2 \right| - x \leqslant 2 (\left| x - 3 \right| - 1) $?

То, что Вы $|2-x|$ заменили на $|x-2|$ --- вполне законно. А вот то, как Вы со знаменателем обращаетесь, не исследовав даже его знак --- это криминал.

[Oops]

Цитата:

Решеньице вкратце приведите потом... А то Ваш вопросик про эквивалентность подозрителен...

Сначала нашёл ОДЗ (x \notin \{2;4\}).
После начертил оси координат (на оси абсцисс отметил 2 и 3). И тут же таблица
$ x - 2 | - | - | + $
$ x - 3 | - | + | + $
(извиняюсь, что не одной картинкой - времени сейчас учить как строить таблицу в LaTeX мало...)

И рассмотрел 3 случая. Как раз те, что Вы говорили.
В итоге на промежутке $ 2 \le x \le 3 $ неравенство не выполняется. С учетом ОДЗ ответ вышел
$ (-\infty, 2) \cup \{3\} \cup (4, +\infty) $

[Алексей К.]

[bot]

Oops писал(а):

И рассмотрел 3 случая. Как раз те, что Вы говорили.
В итоге на промежутке $ 2 \le x \le 3 $ неравенство не выполняется. С учетом ОДЗ ответ вышел
$ (-\infty, 2) \cup \{3\} \cup (4, +\infty) $

Ответ верный.
Всё это можно сделать очень быстро:
Рисуем вертикальную прямую, на которой отмечаем точки (сверху вниз) 3 и 2, через которые проводим горизонтальные линии - вот и получилось разбиение на три случая.
Теперь раскрываем один из модулей, скажем $|x-2|$ - он "ломается" в точке 2. Получаем (сверху вниз):

$\frac{x-2-x}{}\le 2$

3 --------------------

$\frac{x-2-x}{}\le 2$

2--------------------

$\frac{2-x-x}{}\le 2$

Теперь берёмся за другой модуль - $|x-3|$ и завершаем картину:

$\frac{x-2-x}{x-3-1}\le 2$

3 --------------------

$\frac{x-2-x}{3-x-1}\le 2$

2--------------------

$\frac{2-x-x}{3-x-1}\le 2$

Итого у нас получилось три рациональных неравенства. Решаем их - это опять на автомате: перенос в одну сторону, нахождение корней числителя и знаменателя, вычисление знака при "больших" x и отслеживание смены/сохранения знака при проходе через корень ... Ну, Вы знаете - это метод интервалов (правда многие в прстейшем случае рациональных неравеств зачем-то знак определяют по пробной точке).
Ну вот собссно и всё - осталось только учесть горизонтальные границы между которыми решалось рацнеравенство. Саму эту границу (здесь 3 и 2) можно включить хоть куда вверх или вниз, что позволяет до какой-то степени контролировать арифметику вычислений. К примеру, если вдруг оказалось в результате вычислений, что точка 3 удовлетворяет неравенству, лежащему выше черты 3, но не удовлетворяет неравенству, лежащему между 2 и 3, то это явный сигнал об арифметической ошибке.

Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд:

Во как долго я писал - Алексей К уже похлопал.
Впрочем, перед отправкой я ещё выкурить походил.

[Brukvalub]

Oops писал(а):

Не знаю с чего начать решение
$ \sin{7x} \cos{x} = \sin{6x} $

Можно так: в правой части 6х=7х-х