Разложение многочлена на неприводимые в конечном поле

[auchan]

Задача:
Разложить $x^{16}-x$ на неприводимые многочлены над полем $GF(2^4)$.

Что я сделал:
Нашел циклотомические классы:
$C_0=\{0\}$
$C_1=\{1,2,4,8\}$
$C_3=\{3,6,12,9\}$
$C_5=\{5,10\}$
$C_7=\{7,16,13,11\}$
Есть теорема (стр. 26), по которой $x^{15}-1=\prod_{C_i}M^{C_i}(x)$, где $M^{C_i}(x)=\prod_{j\in C_i}(x-\alpha^j)$, $\alpha$ - примитивный элемент $GF(16)$.

Так вот откуда взять этот $\alpha$?

[AV_77]

1. Зачем вы циклотомические классы искали?
2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.

[auchan]

AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):

1. Зачем вы циклотомические классы искали?

Если воспользуюсь теоремой и умножу результат на $x$ то и получу ответ, вроде бы.

AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):

2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.

В задаче (8.6.b) ничего не сказано на этот счет.

[AV_77]

auchan в сообщении #1009399 писал(а):

В задаче (8.6.b
) ничего не сказано на этот счет.

Вы теорию конечных полей изучаете по задачнику? Оригинально!

[VAL]

auchan в сообщении #1009399 писал(а):

AV_77 в сообщении #1009394 писал(а):

2. Из корней какого многочлена состоит поле $GF(2^4)$?.

В задаче (8.6.b) ничего не сказано на этот счет.

В любом учебнике по алгебре (с учебниками по теории кодирования знаком хуже, но думаю, что и там тоже), в котором хоть что-то упоминается о конечных полях, приводится теорема существования и единственности конечных полей. Согласно этой теореме поле из $p^n$ (а других конечных полей не бывает) в точности состоит из всех корней многочлена $x^{p^n}-x$. Это в точности Ваш случай. И отсюда сразу же следует разложение Вашего многочлена.

Использование каких-то частностей при незнании основной теоремы о конечных полях, в самом деле, выглядит как-то странно.

ЗЫ: В задачнике, ссылку на который Вы привели, еще до задачи 8.6, есть задачи 7.4 и 7.5.