2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 18:57 
Аватара пользователя
Пусть чётная функция $f(z)$ аналитична в окрестности точки $0$. Нужно доказать, что в её разложении в ряд Лорана в этой окрестности будут только чётные степени $(..., \frac{1}{z^2}, 1, z^2, z^4, ...)$.
Для ряда Тейлора оно понятно — можно доказать через нечётность производной нечётного порядка.
Но здесь я сомневаюсь: если воспользоваться равенством $\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(-z)^n$, можно придти к следующему:
$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_{2n+1}z^{2n+1}=0$.
Следует ли из этого, что $c_{2n+1}=0$? Если бы было конечное число членов этой суммы, то это следовало бы из линейной независимости функций $..., \frac{1}{z^3}, \frac{1}{z}, z, z^3, ...$.

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:01 
То есть тождественный ноль в проколотой окрестности функции раскладывается в ряд Лорана, Вами указанный. И? Многими ли способами аналитическая в кольце функция раскладывается в ряд Лорана?

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:11 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1008941 писал(а):
То есть тождественный ноль в проколотой окрестности функции раскладывается в ряд Лорана, Вами указанный. И? Многими ли способами аналитическая в кольце функция раскладывается в ряд Лорана?

Нет, не тождественный ноль, а чётная функция $f(z)$ в окрестности нуля. Разложение единственно.
Равенство с суммами из $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n$ и $f(z)=f(-z)$, а затем члены с чётными степенями $z$ сокращаются.

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:16 
Я ж Вам фактически полное решение говорю. ) У себя сами тождественный ноль найдете, ладно? И уже выписанное Вами его разложение в ряд Лорана.

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:28 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #1008947 писал(а):
Я ж Вам фактически полное решение говорю. ) У себя сами тождественный ноль найдете, ладно?

Ах, то бишь мы получили разложение тождественного нуля в окрестности нуля, но так как разложение единственно, а у разложения тождественного нуля в ряд Лорана все $c_n=0$, то следовательно и все $c_{2n+1}=0$, хоть они были получены и не разложением тождественного нуля в ряд Лорана, а получены из разложения в ряд Лорана чётной функции. Это длинненькое предложил сформулировал для себя, но надеюсь, что из него будет понятно, что я понял, если я правильно я понял :D Спасибо большое.

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 19:33 
Типа того. Только обычно короче говорят, конечно. Мол, к-ты нулевые в силу единственности разложения.

 
 
 
 Re: Ряд Лорана чётной функции
Сообщение28.04.2015, 22:40 
Kink в сообщении #1008939 писал(а):
то это следовало бы из линейной независимости функций

Это как-то уж чересчур замысловато. Всё гораздо тупее: если функция $f$ -- чётная, то $f(z)\equiv\frac12(f(z)+f(-z))$.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group