Ротор градиента и обобщённые функции

[мат-ламер]

Общеизвестно, что $\operatorname{rot} \operatorname{grad} u =0$. Это равенство используется для доказательства равносильности разных определений потенциальности поля. У меня возник вопрос, насколько это равенство 1) имеет смысл, 2) верно, 3) важно в тех точках, где поле $u$ не определено. Рассмотрим, например, случай электрического поля заряда в точке, где находится сам заряд. Меня смущает, что обычные доказательства этой формулы путём выписывания и сокращения всех членов с производными здесь не проходят (И сомневаюсь, что поможет использование обобщённых функций, хотя кто знает). Однако проходит доказательство, если ротор определять через циркуляцию, которая для поля, являющимся градиентом некоторого скалярного поля, равна нулю.

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1008449 писал(а):

сомневаюсь, что поможет использование обобщённых функций, хотя кто знает

Почему нет? Операторы $\mathrm{grad}$ и $\mathrm{rot}$ прекрасно определены на обобщённых функциях в $\mathbb R^3$, и их композиция равна нулевому оператору.

мат-ламер в сообщении #1008449 писал(а):

Однако проходит доказательство, если ротор определять через циркуляцию, которая для поля, являющимся градиентом некоторого скалярного поля, равна нулю.

Каким образом?

[iifat]

А можно, для тупых, поподробнее? Если потенциал в точке заряда не определён, формула не имеет смысла вместе с остальными пунктами (впрочем, последний бессмысленен, имхо, в любой точке пространства). Какие такие доказательства вы имеете в виду?

[g______d]

Функция $1/r$ принадлежит $L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb R^3)$, поэтому является регулярной обобщённой функцией. Множества меры нуль (например, одна точка) для регулярных обобщённых функций не имеют значения.

[iifat]

Хм. Почитал пару абзацев. Такое чувство, что вместо выкалывания точки мы просто закрываем на неё глаза. Готов поверить в полезность этого действа, но имеет ли это отношение к начальному вопросу?
Да и вообще, как понял, обобщённая функция — линейный функционал. Где именно он тут, не покажете? Не, $\operatorname{grad}$ и $\operatorname{rot}$ — очевидно, линейные функционалы и $\operatorname{grad}\operatorname{rot}$ равно тождественному нулю. Но всё это, повторюсь, не отвечает, имхо, на вопрос ТС.

[Red_Herring]

Если у нас есть локально интегрируемая функция, то она является обобщенной—прямо "из коробки", никакая регуляризация не требуется. И ее можно дифференцировать сколько угодно раз.

Разумеется обобщенные функции как правило нельзя интегрировать по контуру или поверхности, поэтому говорить о циркуляции как правило, некорректно.

[g______d]

iifat в сообщении #1008512 писал(а):

Не, $\operatorname{grad}$ и $\operatorname{rot}$ — очевидно, линейные функционалы

Нет, это не функционалы, а операторы, действующие на функции. Или на функционалы.

iifat в сообщении #1008512 писал(а):

Да и вообще, как понял, обобщённая функция — линейный функционал. Где именно он тут, не покажете?

$\varphi\mapsto \int\limits_{\mathbb R^3}\varphi(x)u(x)\,dx$.

Пробной функции $\varphi$ сопоставляется число, являющееся интегралом в правой части.

[svv]

Пусть имеется один точечный электрический заряд $q$ в начале координат. Его поле
$\varphi=\frac q r$
$\mathbf E=-\operatorname{grad}\varphi=\frac{q\mathbf r}{r^3}$

Я хочу проверить выполнение электростатических уравнений Максвелла
$\operatorname{div}\mathbf E=4\pi\rho=4\pi q\delta(\mathbf r)$
$\operatorname{rot}\mathbf E=0$
С проверкой того, что дивергенция и ротор $\mathbf E$ нулевые вне начала координат, проблем нет.

Какой должна быть техника и терминология, которая покажет, что ротор и в начале координат нулевой, а вот дивергенция — нет?

[iifat]

Не поясните смысл вопроса? Понятно же, что «точечный заряд» — абстракция, которой в природе не бывает. Как абсолютно твёрдого тела, абсолютно упругого столкновения и т.д. Точечный заряд — заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до него, на самом-то деле это некий шарик (если не вдаваться в квантовую физику). Несколько, имхо, смахивает на вопрос Бора о количестве хвостов несуществующего кота, не?

[svv]

iifat в сообщении #1008526 писал(а):

Понятно же, что «точечный заряд» — абстракция, которой в природе не бывает.

Если и так, работать с такими всё равно надо. И поэтому придумывают функции, которых не бывает — обобщённые функции.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1008449 писал(а):

Рассмотрим, например, случай электрического поля заряда в точке, где находится сам заряд. Меня смущает, что обычные доказательства этой формулы путём выписывания и сокращения всех членов с производными здесь не проходят (И сомневаюсь, что поможет использование обобщённых функций, хотя кто знает).

Для обычных функций, понимаемых как обобщённые (т.е. для регулярных обобщённых) их значения или неопределённость в отдельных точках и вообще на множестве меры ноль не играют никакой роли, т.к. действие этих функций определяется некоторым интегрированием. Градиент кулоновского потенциала -- это именно градиент в обычном смысле, т.к. он интегрируем в т.ч. и по окрестности заряда. А вот следующие производные от него были бы уже не интегрируемы, и их приходится определять уже в обобщённом смысле: $\int \nabla\times(\nabla u(x))\,\varphi(x)\,dx\equiv-\int(\nabla u(x))\times(\nabla\varphi(x))\,dx=\int u(x)\nabla\times(\nabla\varphi(x))\,dx$ для любой пробной, т.е. бесконечно дифференцируемой финитной функции $\varphi(x)$. Эта цепочка равенств верна именно по определению ротора в обобщённом смысле. Однако в самой-то правой части дифференциальное выражение уже вполне классическое и, значит, равно нулю тождественно.

-- Пн апр 27, 2015 17:11:23 --

iifat в сообщении #1008526 писал(а):

Точечный заряд — заряд, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до него, на самом-то деле это некий шарик

Это не просто маленький шарик, а бесконечно малый, т.е. нас интересует именно то, что получится в результате соответствующего предельного перехода. Так вот до предельного перехода в интегралах справа в случае ротора градиента будет получаться ноль, а в случае дивергенции градиента -- отнюдь не ноль. Потому и лапласиан кулоновского потенциала -- это не ноль, а дельта-функция (с точностью до множителя). А вот ротор градиента -- именно ноль.

[g______d]

svv в сообщении #1008522 писал(а):

Какой должна быть техника и терминология, которая покажет, что ротор и в начале координат нулевой, а вот дивергенция — нет?

Техника и терминология обобщённых функций. И все операции вычислять по определению, через пробные функции. Например, Шубин, "Лекции об уравнениях математической физики", страница 80. Я бы мог здесь написать, но это будет дословно как там написано, поэтому не вижу особого смысла.

Нужно только понимать, что на самом деле означает "ротор в начале координат нулевой". Обобщённые функции бывают регулярные и сингулярные. Действие регулярной обобщённой функции на пробную функцию определяется просто как интеграл (нужно, чтобы он сходился -- поэтому $L_1$). Если мы поменяем регулярную обобщённую функцию на множестве меры нуль как угодно, интеграл от этого не изменится, поэтому действие ни на какую пробную функцию не изменится, поэтому функционал не изменится, поэтому обобщённая функция будет та же самая.

Любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами можно применять сколь угодно раз к любой обобщённой функции, делая это по определению (перекидывая на пробную функцию). Например, пусть $u$ -- скалярная обобщённая функция. Тогда $\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\, u$ -- векторная обобщённая функция, действие которой на векторную пробную функцию $\psi$ определяется как

$$ (\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\, u, \psi)=-(\mathrm{grad}\, u,\mathrm{rot}\,\psi)=(u,\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\, \psi). $$

В правой части "скалярного произведения" стоит дивергенция ротора от гладкой функции, которая равна нулю. Поэтому получившийся функционал нулевой.

-- Пн, 27 апр 2015 06:20:36 --

Извините, ewert, я написал то же самое, но мне было жалко удалять.

-- Пн, 27 апр 2015 06:23:17 --

iifat в сообщении #1008526 писал(а):

Понятно же, что «точечный заряд» — абстракция, которой в природе не бывает.

Такая же, как предел, производная, интеграл. Так удобнее; если в некоторой задаче радиус шарика маленький, и от этого радиуса ничего не зависит, то подходящая математическая модель -- та, в которой этого радиуса вообще нет.

[svv]

ewert, g______d, спасибо.

(Оффтоп)

g______d, и не надо в таких случаях удалять. Могут быть какие-то нюансы, которые не подчеркнул предыдущий автор.

[ewert]

g______d в сообщении #1008532 писал(а):

Извините, ewert, я написал то же самое, но мне было жалко удалять.

Ну не совсем то же. С одной стороны, да, пробную функцию надо брать векторной. С другой, у Вас там в первом переходе, кажется, минус лишний (в том смысле, что там два минуса).

[Red_Herring]

Маленькое замечание: $\mathbf{r}r^{-3}$ локально интегрируема, т.е. обобщенная "прямо из коробки" и потому она является градиентом $-r^{-1}$ и как обычная, и как обобщенная функции. Ну а дальше по определению для обобщенных функций.