В каком семействе ф. подбирать частное решение для НЛРУ

[outmind]

Подскажите, пожалуйста, как подбирать частное решение для неоднородных линейных рекуррентных уравнений.
$f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+...+a_{r}f_{n}=\varphi(n)$

Сначала мы выписываем общее однородное решение для
$f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+...+a_{r}f_{n}=0$

Затем ищем частное решение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов в некотором семействе функций. Но тут проблема, т.к. одни учебники предлагают искать в семействе полиномов $P(n)$ той же степени, что и $\varphi(n)$. Другие в семействе $n^k \lambda^n P(n)$, где $\lambda$ это корень характеристического уравнения, а $k$- кратность такого корня. После поисков нашел фразу "For many common f(n), a solution bn to the non-homogeneous recurrence is similar to f(n)." (source). Но что означает "похожие"?

[Brukvalub]

Укажите учебники, в которых

outmind в сообщении #1007328 писал(а):

предлагают искать в семействе полиномов $P(n)$ той же степени, что и $\varphi(n)$.

[ewert]

outmind в сообщении #1007328 писал(а):

Но что означает "похожие"?

Это значит -- в ровно том же виде, но с неизвестными (пока) коэффициентами многочленов. Потому что в стандартной правой части кроме многочленов могут присутстввовать, вообще говоря, ещё и геометрические прогрессии; и вот они-то (если присутствуют) -- обязаны быть именно ровно такими же. (Ещё могут присутствовать синусы и косинусы, причём в приложениях запросто, но они суть те же прогрессии, только комплексные.)

Что же до дополнительного множителя $n^k$, то это называется резонанс, это уже дополнение к основной идее.

Brukvalub в сообщении #1007332 писал(а):

Укажите учебники, в которых

Ну запросто не исключено, если по смыслу задачи правая часть может быть только полиномом (там ведь в этом случае резонанса быть не может, это всё-таки не дифуры, тут попросту не может отсутствовать последнее слагаемое).