2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 08:26 
Пусть $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ Показать, что
$$
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = \det{(A+B)}\det{(A-B)}
$$

Подскажите, пожалуйста, как действовать

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 10:17 
Аватара пользователя
Делайте элементарные операции со строками и столбцами "большой" матрицы так, чтобы получить вместо матрицы $B$ в верхней правой части угол нулей.

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 11:19 
$$
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A & A+B\\ 
B & B+A
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A-B & 0\\ 
B & A+B
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A+B & B\\ 
0 & A-B
\end{Vmatrix} = \det{(A+B)}\det{(A-B)}
$$

Спасибо!

-- 23.04.2015, 12:28 --

Вообще как-то странно получается :roll:

$$
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
0 & A
\end{Vmatrix} +
\begin{Vmatrix}
0 & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = \det{A^2}-\det{B^2}=(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B})
$$

Итого
$$(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B})=\det{(A-B})\det{(A+B)}$$

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 11:47 
Аватара пользователя
2old в сообщении #1007078 писал(а):
$$
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
0 & A
\end{Vmatrix} +
\begin{Vmatrix}
0 & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix}
$$
Откуда это равенство?

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 11:48 
2old в сообщении #1007078 писал(а):
Вообще как-то странно получается :roll:

$$
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = 
\begin{Vmatrix}
A & B\\ 
0 & A
\end{Vmatrix} +
\begin{Vmatrix}
0 & B\\ 
B & A
\end{Vmatrix} = \det{A^2}-\det{B^2}=(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B})
$$


Странно - потому что неверно. Определитель линеен по каждой отдельной строке/столбцу, а вы сразу по n столбцов разделили ($n$ - число столбцов матриц). Если $n=1$, то это верно, но неинтересно.

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 12:14 
Т.е. это просто такая удобная форма записи только? Я почему-то думал что это такое двухмерное векторное пространство, где элементы векторов это матрицы $M_n(\mathbb{R})$. Вроде все, что нужно для векторного пространства выполняется.

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 12:29 
2old в сообщении #1007088 писал(а):
Вроде все, что нужно для векторного пространства выполняется.

А что такое определитель в произвольном векторном пространстве? Вы его где-нибудь за пределами пространства квадратных матриц часто встречаете?

 
 
 
 Re: Определитель блочной матрицы
Сообщение23.04.2015, 13:28 
Определитель -- произвольная полилинейная кососимметрическая функция $D:M_n\to\mathbb{R}$, такая что $D(E)=1$.
Тут я видимо ошибся. Если взять как я думал $V=\operatorname{span}[(0,E_n);(E_n,0)]$ над $M_n$, то это не векторное пространство, т.к. умножение матриц не коммутативно. :oops: Т.е. блочные матрицы это всё-таки просто удобный способ записи.... :cry: :roll:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group