Построение уравнения плоскости.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В последнее время в школьных задачах по стереометрии стало популярно проводить плоскости в разных фигурах по двум точкам и прямой, параллельной данной плоскости. Я как любитель считать в координатах был немного расстроен тем, что уже нельзя просто загонять три точки в определитель и считать уравнение плоскости, поэтому я задался целью построить способ нахождение такого уравнения в обозначенных выше условиях.
Для начала строго запишем исходные посылки:
У нас есть две точки с известными координатами:
$\mathbf{A} (x_1,y_1,z_1)$
$\mathbf{B} (x_2, y_2, z_2)$
И есть некая прямая параллельная нашей плоскости, ее бы хорошо тоже как-то задать в рамках координатного метода, в моем решении значимую роль будет играть направляющий вектор, так что его мы и запишем:
$\vec{r} = \left\lbrace x_3; y_3; z_3\right\rbrace$

1. Приступаем. Возьмем произвольную точку $\mathbf{C} (x, y, z)$
За сим у нас есть вектора, лежащие в одной плоскости, стало быть можно сразу писать уравнение плоскости:

$$\begin{bmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1\\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix}=0$$

[ewert]

Pulseofmalstrem в сообщении #1006572 писал(а):

в школьных задачах по стереометрии стало популярно проводить плоскости в разных фигурах по двум точкам и прямой, параллельной данной плоскости. Я как любитель считать в координатах был немного расстроен тем, что уже нельзя просто загонять три точки в определитель

Вы лучше ещё более расстройтесь тем, что школьной геометрии нет дела ни до координат, ни тем паче до определителей, а она тупо озабочена развитием сугубо пространственного воображения.

[Pulseofmalstrem]

ewert
Есть такое мнение, но лично для меня именно координатный метод дает суть вещей, в то время как картинки содержать в себе лишь следствие, хотя, конечно, умение представлять в уме полезно.

P.S. На экзамене естественно лучше работать традиционными способами, однако если не получается - лучше координатами, чем вообще никак.

[ewert]

Pulseofmalstrem в сообщении #1006580 писал(а):

но лично для меня именно координатный метод дает суть вещей,

Если так, то Вы этот замечательный метод не сможете применить в хоть мало-мальски содержательной ситуации. Но, боюсь, Вы лукавите. Боюсь, что в Вас злобно-тоталитарные геометры уже успели вдолбить то самое воображение, а Вы об этом попросту забыли. И теперь пользуетесь этим воображением не приходя в сознание (в смысле подсознательно). А если б не пользовались бы -- то ничего у Вас и не вышло бы, Вам просто не за что было бы зацепиться.

Ну представьте себе: Вам произносят "плоскость", "перпендикуляр" и т.д. А Вы, как Василий Иваныч, вообще не в курсе: зелёная она?... или определительная?... или трёхчленная?..

[gris]

Мне кажется, что это задача и не воображение, и не координаты, а на чисто формальное орудование аксиомами и теоремами из начала стереометрии.
Дано: $A;B;l. \exists m\parallel l:A\in m$ и так далее. Или словами. Ну, конечно, рассмотреть случаи, когда прямая пересекается с $AB$, параллельна и скрещивается.

[Pulseofmalstrem]

ewert
Конечно, вы правы. Когда мне говорят плоскость - я невольно представляю бесконечную ровную поверхность, и анологично со всем (всякие векторные произведения и так далее), правда по опыту скажу, что при изучении аналитической геометрии пришлось сделать усилие с тем, чтобы вписать в такую картину еще и числа так сказать.

[Brukvalub]

А о чем эта тема? Ну, написали вы требуемое уравнение, которое является тривиальным упражнением по аналитической геометрии, но не учитывает некоторых вырожденных случаев, и что? В чем вопрос-то?

[ewert]

Pulseofmalstrem в сообщении #1006589 писал(а):

правда по опыту скажу, что при изучении аналитической геометрии пришлось сделать усилие с тем, чтобы вписать в такую картину еще и числа так сказать.

А это уже другой вопрос. Это уже переход к следующей парадигме, и он, естественно, каких-то усилий требует. Так всегда бывает. Принципиально, однако, то, что она именно следующая. Исходной она быть не может никак. Ну так просто человек устроен.

[svv]

Pulseofmalstrem
Плоскость $\gamma$ должна проходить через точки $\mathbf a$ и $\mathbf b$ (это соответствующие радиус-векторы) и быть параллельной вектору $\mathbf t$.

Пусть точка $\mathbf r$ лежит в $\gamma$. Тогда векторы $\mathbf r-\mathbf a, \;\mathbf b-\mathbf a, \;\mathbf t$ параллельны $\gamma$, следовательно, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение
$(\mathbf r-\mathbf a,\;\mathbf b-\mathbf a,\;\mathbf t)=0$
Отсюда — Ваш определитель.