Размах выборки, экстремумы и попарные разности

[alisa-lebovski]

Вроде бы удалось доказать формулу:

$$\max(x_1,\dots x_n)-\min(x_1,\dots x_n)\le\frac{1}{n-1}\sum_{1\le i<j\le n}|x_i-x_j|.$$

Известна ли эта формула и на какую литературу можно сослаться, или это что-то новое?

Есть предположение также, что

$$\max(x_1,\dots x_n)\le \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i+\frac{1}{n}\sum_{1\le i<j\le n}|x_i-x_j|$$

(это верно при $n=2,3$). Известна ли такая формула?

[Brukvalub]

Первое - почти очевидно. Ясно, что, не теряя общности, можно считать, что
$0 = x_1\le x_2 \le\ldots \le x_n=1$ , теперь в левой части неравенства находится $1$, а в его правой части $n-1$ раз появится длина отрезка с концами в минимуме и максимуме, то есть та же 1.

[svv]

Первое неравенство для краткости запишем в виде
$\max-\min\leqslant \frac 1{n-1}S$

Отсюда
$n\max\leqslant S+(n-1)\min+\max \leqslant S+\sum\limits_{i=1}^n x_i$