доказательство утверждения о ранге

[2old]

$A_{ms}$,$B_{sn}$ матрицы.
Утверждение:

$$\operatorname{rank}B=\operatorname{rank}AB+\dim(\ker{A}\cap\operatorname{Im}B)$$

Доказательство:
$\ker{A}\cap\operatorname{Im}B$ подпростарнство, т.к. образовано пересечением подпространств. Положим, оно имеет базис $X=[x_1,...,x_k]$. Дополним его до базиса подпространства $\operatorname{Im}B$ системой векторов $Y=[y_1,...,y_l]$. Тогда образ отображений $AB$ и $A[XY]$ совпадают. Далее, образ $A[XY]$ совпадает с $AY$.
Тогда, $\operatorname{rank}AB = \operatorname{rank}Y=\operatorname{rank}B-\dim(\ker{A}\cap\operatorname{Im}B)$

Правильно ли я доказываю?

[nnosipov]

Если не придираться к мелочам, то да.

2old в сообщении #1004845 писал(а):

$A[XY]$

Почему Вы это называете отображением?

[2old]

nnosipov
Я наверное не понял вопрос. Ну потому что это композиция отображений -- отображение. $[XY]$ -- матрица размерами ${s(k+l)}$

[nnosipov]

2old в сообщении #1005039 писал(а):

$[XY]$ -- матрица размерами ${s(k+l)}$

Тогда нет вопросов.

[2old]

nnosipov
Спасибо

[ewert]

Лучше перейти на операторный язык (если правила игры это позволяют), тогда вообще практически ничего не надо доказывать. К этому моменту наверняка известно, что размерность ядра оператора плюс размерность его образа есть размерность входного пространства, т.е. того, из которого этот оператор действует. Так вот: $\operatorname{rank}AB$ -- это размерность образа оператора $A$, суженного на образ оператора $B$, в то время как $\ker{A}\cap\operatorname{Im}B$ есть не что иное, как ядро этого же сужения. Естественно, сумма этих размерностей и равна размерности образа $B$.