дифференциальные уравненения

[olga_helga]

Че-то либо у менямозги опять слипаются, то ли уравнение сложное.Подскажите:
найти общее решение диф. ур-ия, допускающего понижение порядка:

\[ y'' = - \frac{x} {y} \]

[Brukvalub]

А если попробовать замену

$$x = e^t \;;\;y = z(t)e^{\frac{3}{2}t} $$

- в новом уравнении порядок должен понижаться.

[olga_helga]

и че?
Там ваще засада получается:

\[ z''e^{2t} + 3z'e^{2t} + \frac{9} {2}ze^{2t} = - \frac{1} {z} \]

Добавлено спустя 27 минут 13 секунд:

кстати, проинтегрировать уравнение - это значить найти решение y=f(x)?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Там ваще засада получается:

А Вы при замене переменных использовали формулы:

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{y'_t }}{{x'_t }}$$

и т.п. или "от балды" подставляли?

olga_helga писал(а):

кстати, проинтегрировать уравнение - это значить найти решение y=f(x)?

Нет, это значит найти общее решение уравнения (которое в данном случае должно содержать две произвольные постоянные) и все его особые решения.

[olga_helga]

ну вроде так.

\[ y' = z'e^{t/2} + \frac{3} {2}ze^{t/2} \]

\[ y'' = \frac{{(y')_t^' }} {{x_t^' }} = \frac{{z''e^{t/2} + 2z'e^{t/2} + 3/4e^{t/2} }} {{e^t }} \]

\[ z'' + 2z' + \frac{3} {4}z + \frac{1} {z} = 0 \]

.Где здесь понижение порядка?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Где здесь понижение порядка?

Если в уравнение не входит явно аргумент функции, то это один из стандартных случаев понижения порядка: за новый аргумент принимают саму неизвестную функцию, а за новую функцию - её первую производную.