Условие параметрического возбуджения колебаний

[Hellko]

Цитата:

Математический маятник состоит из жёсткого стержня, имеющего длину $l$ , с грузиком на конце. Ось вращения маятника совершает в вертикальном направлении гармонические колебания с малой амплитудой $d$ и с частотой $2\omega_0$. Методом гармонического баланса найти условие параметрического возбуждения колебаний маятника и выражение для стационарной амплитуды колебаний, считая, что $\omega_0^2=g/l$ , а добротность маятника равна $Q$ .
Указания: 1) Считать, что амплитуда колебаний не превышает значений, при которых допустимо заменить синус приближённым выражением $1-x^3/6$ . 2) В расчётах пренебрегать членами, содержащими произведение $mx^3$ , где $m$ - коэффициент модуляции переменного параметра а $x$ - отклонение маятника от вертикали.

Составляю функцию Лагранжа
$x=-l \sin{\varphi}$ и $y=-l \cos{\varphi} + d \sin{2\omega_0 t}$
$\dot{x}=-l \cos{\varphi} \dot{\varphi}$ и $\dot{y}=l \sin{\varphi}\dot{\varphi}+2\omega_0d\cos{2\omega_0t}$
$L=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)-mgy$
Получим уравнение Лагранжа (Сразу разложив синусы в ряд)
$\ddot{\varphi}-4\omega_0^2\frac{d}{l}\varphi\sin{2\omega_0t}+\frac{2}{3}\omega_0^2\frac{d}{l}\varphi^3\sin{2\omega_0t}+\frac{g}{l}\varphi-\frac{g}{6l}\varphi^3=0$
Добавим диссипацию, выкинем малый по условию член и сделаем замену $\omega_0^2=g/l$ и $d/l=m$ -коэф. модуляции.
$\ddot{\varphi}+2\delta\dot{\varphi}+\varphi\left(-4\omega_0^2m\sin{2\omega_0t}+\omega_0^2\right)-\frac{1}{6}\omega_0^2\varphi^3=0$ (добротность подставлю позже)
Сделаем замену $\omega_0^2\left(1-4m\sin{2\omega_0t}\right)=k$
Далее решением будем искать в виде $\varphi=A\sin{\omega t}+B\cos{\omega t}$
$-A\omega^2\sin{\omega t}-B\omega^2\cos{\omega t} +2\delta A\omega\cos{\omega t}-2\delta B\omeag\sin{\omega t}+A k\sin{\omega t}+B k\cos{\omega t}-\frac{\omega_0^2}{8}\left(A^3\sin{\omega t}+A^2B\cos{\omega t}+AB^2\sin{\omega t}+B^3\cos{\omega t}\right)=0$
$\sin(3\omega t)$ и косинус я выкинул руководствуясь методом гармонического баланса.
Распишем коэффициенты перед синусами и косинусами:
$\sin{\omega t}$ :: $A\left(-\omega^2+k-\frac{\omega_0^2}{8}C^2\right)+B(-2\delta\omega)=0$
$\cos{\omega t}$ :: $B\left(-\omega^2+k-\frac{\omega_0^2}{8}C^2\right)+A(+2\delta\omega)=0$
где $C^2=A^2+B^2$

Теперь возведем в квадрат и сложим.
$C^2\left(\left(-\omega^2+k-\frac{\omega_0^2}{8}C^2\right)^2+\left(2\delta\omega\right)^2\right)=0$
Теперь либо $C=0$ либо вторая скобка равна нулю. И из этого условия можно найти то что требуется, но вот не задача в скобках сумма квадратов. И корни могут быть только комплексные, а значит параметрического возбуждения не будет?

Не могу понять что я делаю не так.