2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение16.04.2015, 14:10 


07/04/15
244
Проверьте, пожалуйста.

Показать, что для любых матриц $A_{ms},B_{sn}$ имеет место неравенство:
$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-s\leq\operatorname{rank}(AB)$$

Рассмотрим ядро отображения $AB$: множество таких векторов $X$, что $ABX=0$. C другой стороны это подмножество ядра $A$: $\ker A\cap\operatorname{Im}(B)$. Значит:
$$\dim\ker AB \leq \dim\ker A $$
$$n-\operatorname{rank}AB\leq s - \operatorname{rank}A $$
$$n+\operatorname{rank}A - s \leq \operatorname{rank}AB $$
Так как $\operatorname{rank}B\leq n$, то имеем
$$\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-s\leq\operatorname{rank}(AB)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение16.04.2015, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение16.04.2015, 16:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
2old в сообщении #1004417 писал(а):
Значит:
$$\dim\ker AB \leq \dim\ker A $$
Пусть, например, $A$ --- единичная матрица (тождественный оператор). Что-то странное тогда получается, если написанное неравенство верно.

-- Чт апр 16, 2015 20:39:36 --

2old в сообщении #1004417 писал(а):
C другой стороны это подмножество ядра $A$: $\ker A\cap\operatorname{Im}(B)$.
С чего бы это? Ясно, однако, что ядро $AB$ содержит ядро $B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение16.04.2015, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Упс, проморгал... :oops: Впрочем, рассуждение ТС легко спасти, просто нужно рассуждать аккуратнее: рассматривать сужения одних операторов на образы действия других операторов, и тогда все получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение16.04.2015, 17:33 


07/04/15
244
nnosipov
Мда, какой-то бред получается. Но я не понимаю где ошибка.

Цитата:
C другой стороны это подмножество ядра $A$: $\ker A\cap\operatorname{Im}(B)$.

Цитата:
С чего бы это?

Потому что когда я рассматриваю просто отображение $A_{ms}$, то я могу воздействовать им на все вектора из $\mathbb{R}^s$ и смотреть какие из них попадут в ядро. А когда рассматриваю отображение $AB_{mn}$, то могу только на те воздействовать отображением $A$, которые попадут в $\operatorname{Im}B$. Получается вектор должен лежать и в ядре $A$ и быть образом какого-либо элемента отображения $B$.

$+$ как вы сказали, $\ker{B}\in\ker{AB}$ и имеем противоположное неравенство
$$\dim\ker{B}\leq\ker{AB}$$

:shock: :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение17.04.2015, 10:55 


07/04/15
244
Я понял в чем ошибка, $X$ не обязан лежать в ядре $A$, чтобы лежать в ядре $AB$ :oops: :oops:

-- 17.04.2015, 12:33 --

Brukvalub
Насколько я понял вас, о сужении, надо сделать как-то так:

Для всех векторов $X\in\mathbb{R}^s$ и отображения $A$, будет верно:
$$\operatorname{rank}A+\dim\ker{A}=s$$
Теперь запишем аналогичное тождество в случае, когда отображение $A$ будет действовать только из $\operatorname{Im}B$
$$\operatorname{rank}AB+???=\operatorname{rank}B$$

Вот как там с ядром будет, я не понимаю...Хочется опять написать $\dim(\ker A\cap\operatorname{Im}B)$

 Профиль  
                  
 
 Re: неравенство Сильвестра для рангов
Сообщение17.04.2015, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Мне проще сослаться: Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры Гл.2 параграф 8 п.8.1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group