2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:22 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Является ли сумма ряда $\frac{a}{2}+\frac{b}{2\cdot3}+\frac{c}{2\cdot3\cdot4}+\frac{d}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+...$ иррациональной, если $a,b,c,d...\in N  \text{и}\in [1,8]$, если да, доказать, если нет, привести контрпример

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:36 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Если сумма рационально и равно $\frac{P}{Q}=\sum_i\frac{a_i}{i!}$, то взяв сумму первых Q членов и умножив на $Q!$ получим целое, слева так же целое, а справа остаток - противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:39 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
пфф... зачет :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:42 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Sicker, вы же экспоненту написали.

Руст, а в чём противоречие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:46 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Nemiroff в сообщении #1003902 писал(а):
Sicker, вы же экспоненту написали.

ааа, где? :D
Да, да - я напортачил в условии
Пусть наши $a,b,c,d,...$ это $a_{1},a_{2},...$, тогда $a_{n}\in[1,N]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:48 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
Я не понимаю ваших обозначений. Пусть все числители равны единице. Тогда это просто экспонента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение14.04.2015, 20:48 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Я имею ввиду общий случай

-- 14.04.2015, 20:49 --

Вам надо доказать, что при любым параметрах будет иррациональное число, или привести параметры, когда оно рационально

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 03:38 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Ошибочка) $\in [1, N-1]$ (только для $a$ с индексами больших одного)

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 03:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Sicker, Вы задачу внятно сформулировать можете? Какие-то обрывки слов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 06:33 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
В последних постах доформулировал)

-- 15.04.2015, 06:38 --

В общем
Является ли сумма ряда $\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2\cdot3}+\frac{a_{3}}{2\cdot3\cdot4}+\frac{a_{4}}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+...$ иррациональной, если $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...{a_{n}}...\in N  \text{и}\in [1,n-1]$ (когда $n=1$ то берем $a_{1}=1$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 08:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Поскольку $\displaystyle\sum_{n=N}^\infty\frac{n}{(n+1)!}=\frac1{N!}$, то для любого числа $\alpha\in[0,1)$ существует единственное представление в виде $\displaystyle\alpha=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{(n+1)!}$, $a_n\in\{0,1,\dotsc,n\}$, если потребовать (для единственности), чтобы для бесконечно многих $n$ выполнялось неравенство $a_n<n$. При этом $\displaystyle\sum_{n=N}^\infty\frac{a_n}{(n+1)!}=\frac{\{N!\alpha\}}{N!}$ (где $\{\cdot\}$ — дробная часть), так что разложение конечно (т.е. количество ненулевых "цифр" $a_n$ конечно) тогда и только тогда, когда $\alpha$ рационально. Если же отбросить дополнительное условие $a_n<n$, то для всякого рационального $\alpha\in(0,1)$ (и только для таких $\alpha$) существует ровно два представления вида $\displaystyle\alpha=\sum_{n=1}^N\frac{a_n}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{a_n}{(n+1)!}+\frac{a_N-1}{(N+1)!}+\sum_{n=N+1}^\infty\frac{n}{(n+1)!}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
А это не расширение факториальной системы счисления в "дробную сторону"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Можно же действовать аналогично доказательству иррациональности $e$, как предложил Руст. Остаток оценивается так:
$$
0<\sum_{n>N}\frac{a_n}{(n+1)!}\leqslant\sum_{n>N}\frac{n-1}{(n+1)!}<\frac1{(N+1)!}.
$$
Если частичную сумму (от единицы до $N$) умножить на $(N+1)!$, получится целое число. Если умножить весь ряд на $(N+1)!$, тоже получится целое число в предположении, что сумма ряда рациональна и $N$ достаточно велико. Значит, произведение остатка на $(N+1)!$ тоже целое, но оно лежит на $(0,1)$. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение15.04.2015, 11:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Таким образом, сумма ряда
$$\sum_i\frac{a_i}{i!}$$ иррациональна, если начиная с некоторого $i>N$ выполняется $a_i<i, i>N$.
Вроде можно еще несколько уменьшить ограничение на рост $a_i$ так, чтобы сумма ряда получилась иррациональной, например начиная с некоторого N
$|a_{i+1}-a_i|<M=const$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Иррациональный ряд
Сообщение17.04.2015, 10:51 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
gris в сообщении #1004099 писал(а):
А это не расширение факториальной системы счисления в "дробную сторону"?

Оно самое 8-)

Господа RIP, ex-math
Решение принимается :-)

-- 17.04.2015, 10:52 --

Руст в сообщении #1004110 писал(а):
Таким образом, сумма ряда
$$\sum_i\frac{a_i}{i!}$$ иррациональна, если начиная с некоторого $i>N$ выполняется $a_i<i, i>N$.

А вот это нет

-- 17.04.2015, 10:57 --

Но на самом деле есть решение намного проще чем вы написали :roll: .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group