эквивалетнтые последовательности Рудин

[arkitch]

стр 91, упр. 19б
Пусть X* множество классов эквивалентности. Если $P \in X^*, Q \in X^*, \{p_n\}\in P,\{q_n\}\in Q$, то положим по определению

$$\triangle (P,Q)=\lim_{n\to\infty} d(p_n,q_n) $$

Показать, что число $\triangle (P,Q)$ не изменится, если ${p_n}$ и ${q_n}$ заменить эквивалентными последовательностями, и что тем самым $\triangle$ -расстояние на X*

Мысли:
используя неравенство треугольника, предположив что $d(p_n,q_n)\to s$, $d(p_n^*,q_n^*)\to s^*$ $p_n^* \thicksim p_n,q_n^* \thicksim q_n$ сделать $s=s^*$
2) можно ли использовать, то что есть у Зорича об эквивалетных по базе функциях?

[mihailm]

Начало доказательства: Пусть имеются две последовательности Коши с некоторым расстоянием между ними. Возьмем еще третью и четвертую последовательности, так что третья эквивалентна первой, а четвертая второй. Посчитаем расстояние между ними. Считайте

[arkitch]

Используя

$$|d(a,b)-d(u,v)| \leq d(a,u)+d(b,v)$$

получим

$$|d(p_n,q_n)-d(p_n^*-q_n^*|\leq d(p_n,p_n^*)-d(q_n-q_n^*)$$

В силу эквивалентности 0.

[mihailm]

Ну или так можно, если конечно опечатки исправить