Не оператор

ограничен снизу, а

для всех

(

)
Именно это я и понимаю под "ограничен снизу". Если не секрет, то почему это безграмотный термин?
и потому

— замкнутое мн-во
Вроде бы я умею это доказывать.
Пусть для линейного ограниченного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве

выполнено условие

для всех

. Покажем, что его образ замкнут.
Пусть

по норме

. Тогда

. Отсюда

По теореме Банаха-Алаоглу существует слабо сходящаяся к какому-то

подпоследовательность

. Зафиксируем произвольный

. Тогда, с одной стороны

и с другой,

. Отсюда получаем, что

для всякого

. Значит,

.
В таком случае никаких игр с обратным оператором не нужно. Оператор

инъективен и сюръективен, т.к. его браз замкнут и всюду плотен. Значит по теореме Банаха он обратим.
Нужен контекст. Возможно, ранее где-нибудь сообщалось, что без ограничения общности оператор считается замкнутым, из самосопряженности следует, у него оба индекса дефекта равны 0, и тогда сказанное становится очевидным.... Одним словом, должен быть развит еще какой-нибудь аппарат для исследований.
К сожалению про индексы дефекта я ничего не знаю.
Доказательство я нашел
здесь(страница 9) в качестве альтернативы доказательству предложенному нам на лекциях(через конформные отображения).
Поскольку

замкнут и инъективен, обратный оператор

таков же (по-моему, это ключевой момент)
Так вот проблема в том, что обратного оператора по предположению нет (

- точка спектра, не вещественная). Поэтому про его свойства говорить не представляется возможным.
Правильно я понимаю, что под замкнутым оператором понимается оператор, у которого замкнут график? Просто не часто приходилось видеть использование этого термина.